Jest to zadanie z działu bryły a konkretnie dotyczy graniastosłupa.
Odpowiedzi:
Objętość graniastosłupa:
[tex]V = 100\sqrt{3}\ cm^3[/tex]
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
[tex]P_c = 50\ cm^2 + 80\sqrt{3}\ cm^2[/tex]
Rysunek poglądowy w załączniku.
Przydatne wzory:
[tex]V = P_p \cdot H[/tex]
[tex]P_p[/tex] - pole podstawy
[tex]H[/tex] - wysokość graniastosłupa
- Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
[tex]P_c = 2P_p + P_b[/tex]
gdzie:
[tex]P_p[/tex] - pole podstawy
[tex]a^2 + b^2 = c^2[/tex]
gdzie:
[tex]a, b[/tex] - przyprostokątne trójkąta prostokątnego
[tex]c[/tex] - przeciwprostokątna
Zgodnie z rysunkiem, możemy obliczyć przekątną podstawy (która jest przydatna przy późniejszym obliczeniu krawędzi podstawy ponieważ w podstawie mamy kwadrat to [tex]d = a\sqrt{2}[/tex]) z twierdzenia Pitagorasa.
Oznaczenia:
d - przekątna podstawy
H - wysokość graniastosłupa
D - przekątna graniatosłupa
Dane z zadania:
[tex]H = 4\sqrt{3}\ cm[/tex]
[tex]D = 7\sqrt{2}\ cm[/tex]
d = ?
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:
[tex]d^2 + H^2 = D^2[/tex]
Podstawiamy:
[tex]d^2 + (4\sqrt{3}\ cm)^2 = (7\sqrt{2}\ cm)^2[/tex]
[tex]d^2 + (4^2 \cdot (\sqrt{3})^2)\ cm^2 = (7^2 \cdot (\sqrt{2})^2)\ cm^2[/tex]
[tex]d^2 + 48\ cm^2 = 98\ cm^2[/tex]
[tex]d^2 = 98\ cm^2 - 48\ cm^2[/tex]
[tex]d^2 = 50\ cm^2[/tex]
[tex]d = \sqrt{50\ cm^2} = \sqrt{25\ cm^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\ cm[/tex]
Mając przekątną podstawy można obliczyć teraz krawędź podstawy:
[tex]d = a\sqrt{2}[/tex]
[tex]a\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\ cm | : \sqrt{2}[/tex]
[tex]a = 5\ cm[/tex]
Można teraz obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:
1. Objętość:
[tex]V = P_p \cdot H = a^2 \cdot H = (5\ cm)^2 \cdot 4\sqrt{3}\ cm = 25\ cm^2 \cdot 4\sqrt{3}\ cm = 100\sqrt{3}\ cm^3[/tex]
2. Pole powierzchni całkowitej:
Pole boczne tworzą cztery kwadraty, więc:
[tex]P_c = 2P_p + P_b[/tex]
[tex]P_c = 2 \cdot a^2 + 4 \cdot a \cdot H[/tex]
[tex]P_c = 2 \cdot (5\ cm)^2 + 4\cdot 5\ cm \cdot 4\sqrt{3}\ cm[/tex]
[tex]P_c = 50\ cm^2 + 80\sqrt{3}\ cm^2[/tex]
