Wartości wielomianu w to w(x), a wartości wielomianu u to u(x).
Zatem musimy rozwiązać nierówność: w(x) < u(x)
Czyli:
[tex]x^4-2x^2+1 < x^3+1\\\\x^4-x^3-2x^2+1-1 < 0\\\\x^2(x^2-x-2) < 0\\\\x^2(x^2+x-2x-2) < 0 \\\\x^2[x(x+1)-2(x+1)] < 0\\\\x^2[(x+1)(x-2)] < 0[/tex]
Dla każdego x∈R liczba x² jest nieujemna,
czyli wielomian x²(x+1)(x-2) przyjmuje wartości ujemne tylko jeśli iloczyn (x+1)(x-2) jest ujemny.
Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, kiedy mają one różne znaki,
zatem:
[tex]x^2(x + 1)(x - 2) < 0\quad\iff\quad \left \{ {{x+1 > 0} \atop {x-2 < 0}} \right.\quad\vee\quad \left \{ {{x+1 < 0} \atop {x-2 > 0}} \right.[/tex]
W pierwszym przypadku mamy:
x + 1 > 0 ∧ x - 2 < 0
x > -1 ∧ x < 2
W drugim przypadku natomiast mamy:
x + 1 < 0 ∧ x - 2 > 0
x < -1 ∧ x > 2
x ∈ ∅ {nie istnieje liczba jednocześnie mniejsza od -1 i większa od 2}
Odp.: Wartości wielomianu w są mniejsze od wartości wielomianu u dla
