Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{5.\ y_{min}=-\dfrac{1}{2}\ \text{dla}\ x=\sqrt2}\\\boxed{y_{max}=1\ \text{dla}\ x=\dfrac{1}{2}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
5.
[tex]f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x\\\\D:x > 0[/tex]
Funkcja logarytmieczna jest różnowartościowa i ściśle monotoniczna w swojej dziedzinie.
Logarytm ma w podstawie liczbę z przedziału (0, 1). Stąd jest malejąca.
Obliczamy wartości z krańców zadanego przedziału:
[tex]\left < \dfrac{1}{2},\ \sqrt2\right >[/tex]
[tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2}=1\\\\f\left(\sqrt2\right)=\log_{\frac{1}{2}}\sqrt2=\log_{\frac{1}{2}}2^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}2=\dfrac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}\\=-1\cdot\dfrac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\cdot1=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Wartość najmniejsza wynosi -1/2 dla x = √2.
Wartość największa wynosi 1 dla x = 1/2.
6.
[tex]\log_{\sqrt5}36+\log_{\frac{1}{5}}36=\dfrac{2}{\log_65}[/tex]
[tex]L=\dfrac{\log_536}{\log_5\sqrt5}+\dfrac{\log_536}{\log_5\frac{1}{5}}=\dfrac{\log_536}{\log_55^{\frac{1}{2}}}+\dfrac{\log_536}{\log_55^{-1}}=\dfrac{\log_536}{\frac{1}{2}}+\dfrac{\log_536}{-1}\\\\=2\log_536-\log_536=\log_536^2-\log_536=\log_5\dfrac{36^2}{36}=\log_536\\\\=\dfrac{\log_636}{\log_65}=\dfrac{\log_66^2}{\log_65}=\dfrac{2}{\log_65}=P\qquad\qquad_{\blacksquare}[/tex]
Skorzystaliśmy z definicji logarytmu:
[tex]\log_ab=c\iff a^c=b,\ a,b>0\ \wedge\ a\neq1[/tex]
oraz z twierdzeń:
[tex]\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca},\ a,b,c>0\ \wedge\ a\neq1\ \wedge\ c\neq1\\\\\log_ab^n=n\log_ab,\ a,b>0\ \wedge\ a\neq1\\\\\log_ab-\log_ac=\log_a\dfrac{b}{c},\ a,b,c>0\ \wedge\ a\neq1[/tex]
