Odpowiedź:
B. (-∞, 3>
Szczegółowe wyjaśnienie:
To zadanie możemy rozwiązać na różne sposoby.
Sposób 1:
Rozwijamy wzór funkcji kwadratowej z postaci iloczynowej na postać ogólną:
f(x) = -2(x - 1)(x - 5) = -2(x² - 5x - x + 5) = -2(x² - 6x + 5) = -2x² + 12x - 5
Obliczamy odciętą (x) wierzchołka:
p = -b/2a
Podstawiamy b = 12, a = -2:
p = -12/(2 · (-2)) = -12/-4 = 3
Współczynnik a = -2 < 0. W związku z tym ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji są skierowane w dół. A co za tym idzie, że funkcja jest rosnąco - malejąca. Rośnie dla x ∈ (-∞ , p>, a maleje dla x ∈ <p, ∞).
Zatem funkcja f(x) rośnie dla x ∈ (-∞, 3>.
Sposób 2:
Mamy postać iloczynową, z której możemy odczytać miejsca zerowe:
f(x) = -2(x - 1)(x - 5) → x = 1 i x = 5
Odcięta wierzchołka paraboli jest w połowie między miejscami zerowymi. Stąd wystarczy obliczyć nam średnią arytmetyczną miejsc zerowych:
p = (1 + 5)/2 = 6/2 = 3
Reszta rozwiązania jest zawarta w pierwszym sposobie.
Funkcja jest rosnąca w zbiorze (-∞, 3>.
Sposób 3:
Obliczamy pochodną funkcji.
Na początku przedstawmy ją w postaci ogólnej (zrobiono to w pierszym sposobie).
f(x) = -2(x - 1)(x - 5) = -2x² + 12x - 5
f'(x) = -4x + 12
Sprawdzamy Dla jakich wartości x, pochodna przyjmuje wartości dodatnie (funkcja jest rosnąca)
f'(x) > 0 ⇔ -4x + 12 > 0 |-12
-4x > -12 |:(-4)
x < 3
Funkcja jest rosną dla x < 3 ⇒ x ∈ (-∞, 3).
Przedział maksymalny x ∈ (-∞, 3>.
