👤

Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=-2(x-1)(x-5) jest rosnąca w zbiorze
A.<1,5>
B.(-∞,3>
C.<3,+∞)
D.(-∞,1>∪<5,+∞)


Odpowiedź :

Odpowiedź:

miejsca zerowe to x=1 oraz x=5 oraz współrzędne wierzchołka to W=(3, 4) więc funkcja rośnie w zbiorze (-nieskonczonosci, 3 włacznie.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Rozwiązanie zadania na zdjęciu w załączniku. Bardzo proszę o zaznaczenie najlepszej odpowiedzi.

Zobacz obrazek KrzysztofM2020

Odpowiedź:

B. (-∞, 3>

Szczegółowe wyjaśnienie:

To zadanie możemy rozwiązać na różne sposoby.

Sposób 1:

Rozwijamy wzór funkcji kwadratowej z postaci iloczynowej na postać ogólną:

f(x) = -2(x - 1)(x - 5) = -2(x² - 5x - x + 5) = -2(x² - 6x + 5) = -2x² + 12x - 5

Obliczamy odciętą (x) wierzchołka:

p = -b/2a

Podstawiamy b = 12, a = -2:

p = -12/(2 · (-2)) = -12/-4 = 3

Współczynnik a = -2 < 0. W związku z tym ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji są skierowane w dół. A co za tym idzie, że funkcja jest rosnąco - malejąca. Rośnie dla x ∈ (-∞ , p>, a maleje dla x ∈ <p, ∞).

Zatem funkcja f(x) rośnie dla x ∈ (-∞, 3>.

Sposób 2:

Mamy postać iloczynową, z której możemy odczytać miejsca zerowe:

f(x) = -2(x - 1)(x - 5) → x = 1 i x = 5

Odcięta wierzchołka paraboli jest w połowie między miejscami zerowymi. Stąd wystarczy obliczyć nam średnią arytmetyczną miejsc zerowych:

p = (1 + 5)/2 = 6/2 = 3

Reszta rozwiązania jest zawarta w pierwszym sposobie.

Funkcja jest rosnąca w zbiorze (-∞, 3>.

Sposób 3:

Obliczamy pochodną funkcji.

Na początku przedstawmy ją w postaci ogólnej (zrobiono to w pierszym sposobie).

f(x) = -2(x - 1)(x - 5) = -2x² + 12x - 5

f'(x) = -4x + 12

Sprawdzamy Dla jakich wartości x, pochodna przyjmuje wartości dodatnie (funkcja jest rosnąca)

f'(x) > 0 ⇔ -4x + 12 > 0    |-12

-4x > -12    |:(-4)

x < 3

Funkcja jest rosną dla x < 3 ⇒ x ∈ (-∞, 3).

Przedział maksymalny x ∈ (-∞, 3>.