Odpowiedź:
[tex]$m \in \Big(-\frac{4}{7} ,-\frac{1}{2} \Big) \cup \Big(-\frac{1}{2} , 0 \Big \rangle[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Takie zadania są dość schematyczne. Najpierw określamy, kiedy warunki zadania będą spełnione. Funkcja ma mieć dwa różne pierwiastki, a zatem na pewno:
[tex]$\Delta > 0[/tex]
Dalej praktycznie zawsze występuje warunek związany ze wzorami Viete'a. Trzeba podane wyrażenie przekształcić tak, aby występowały w nim tylko suma i iloczyn rozwiązań, bo wtedy możemy użyć tych wzorów. Mamy:
[tex]$(x_{1}-x_{2})^{2}+5x_{1}x_{2}\geq 1[/tex]
[tex]$x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+5x_{1}x_{2}\geq 1[/tex]
[tex]$x_{1}^{2}+x^{2}_{2}+3x_{1}x_{2}\geq 1[/tex]
Teraz trzeba użyć pewnej sztuczki, czyli zamienić sumę kwadratów na różnicę kwadratu sumy i iloczynu pierwiastków:
[tex]$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}+3x_{1}x_{2}\geq 1[/tex]
[tex]$(x_{1}+x_{2})^{2}+x_{1}x_{2}\geq 1[/tex]
Teraz jesteśmy już w domu, bo wystarczy wykorzystać wspomniane wzory.
Po takim przygotowaniu przechodzimy do meritum - trzeba te warunki rozwiązać. Obliczamy wyróżnik:
[tex]$\Delta=(m+2)^{2}-4(2m+1)(m-3)=m^{2}+4m+4-8m^{2}+24m-4m+12=[/tex]
[tex]$=-7m^{2}+24m+16[/tex]
Czyli mamy do rozwiązania nierówność:
[tex]$-7m^{2}+24m+16 > 0[/tex]
[tex]$\Delta_{m}=576-4 \cdot (-7) \cdot 16=1024 \iff \sqrt{\Delta_{m}}=32[/tex]
[tex]$m_{1}=\frac{-24+32}{-14} =-\frac{4}{7}[/tex]
[tex]$m_{2}=\frac{-24-32}{-14} =4[/tex]
[tex]$m \in \Big(-\frac{4}{7},4\Big)[/tex]
Teraz drugi warunek, najpierw policzmy sumę i iloczyn pierwiastków:
[tex]$x_{1}+x_{2}=-\frac{m+2}{2m+1}[/tex]
[tex]$x_{1}x_{2}=\frac{m-3}{2m+1}[/tex]
Oczywiście przy założeniu, że [tex]$m \neq -\frac{1}{2}[/tex], co też będzie istotne.
Teraz podstawiamy te wartości do warunku:
[tex]$\Big(-\frac{m+2}{2m+1}\Big)^{2}+\frac{m-3}{2m+1}\geq 1[/tex]
[tex]$\frac{(m+2)^{2}}{(2m+1)^{2}} +\frac{m-3}{2m+1} \geq 1[/tex]
Pomnóżmy obustronnie przez [tex](2m+1)^{2}[/tex] :
[tex](m+2)^{2}+(2m+1)(m-3)\geq (2m+1)^{2}[/tex]
[tex]$m^{2}+4m+4+2m^{2}-6m+m-3\geq 4m^{2}+4m+1[/tex]
[tex]$3m^{2}-m+1\geq 4m^{2}+4m+1[/tex]
[tex]m^{2}+5m\leq 0[/tex]
[tex]$m(m+5)\leq 0[/tex]
[tex]$m \in \langle -5,0 \rangle[/tex]
Uwzględniając, że [tex]$m \neq -\frac{1}{2}[/tex] mamy:
[tex]$m \in \Big \langle -5,-\frac{1}{2} \Big) \cup \Big(-\frac{1}{2},0 \Big \rangle[/tex]
Teraz pozostaje tylko wziąć część wspólną obu warunków, aby otrzymać rozwiązanie zadania:
[tex]$m \in \Big(-\frac{4}{7} ,-\frac{1}{2} \Big) \cup \Big(-\frac{1}{2} , 0 \Big \rangle[/tex]
