Rozwiązanie:
Mamy:
[tex]$c) \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}[/tex]
Na pierwszy ogień weźmy prostą [tex]y=x[/tex] (dążymy do zera po tej prostej). Oczywiście, jeżeli [tex]x \to 0[/tex] to także [tex]y \to 0[/tex] i odwrotnie. Wtedy sytuacja sprowadza się do funkcji jednej zmiennej, bo:
[tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)=\lim_{x \to 0} f(x,x)[/tex]
Zatem mamy do policzenia granicę:
[tex]$\lim_{x \to 0}\frac{x \cdot x}{x^{2}+x^{2}}=\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2x^{2}}=\frac{1}{2}[/tex]
W drugim przypadku rozważmy prostą [tex]y=-x[/tex]. Wtedy granica jest następująca:
[tex]$\lim_{x \to 0}\frac{x \cdot (-x)}{x^{2}+x^{2}}=\lim_{x \to 0} \frac{-x^{2}}{2x^{2}}=-\frac{1}{2}[/tex]
Zatem:
[tex]$\lim_{x \to 0} f(x,x)\neq \lim_{x \to 0}f(x,-x)[/tex]
co jest wystarczające, aby stwierdzić, że granica nie istnieje, co kończy dowód.
