Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego najdłuższy bok ma długość 3r. Musimy obliczyć pole trapezu.
Musimy obliczyć długość krótszej podstawy.
Z własności okręgu wpisanego w czworokąt otrzymujemy:
[tex]2r+c=b+3r[/tex]
[tex]c=b+r[/tex]
Z pitagorasa:
[tex](2r)^2+(3r-b)^2=c^2[/tex]
[tex](2r)^2+(3r-b)^2=(b+r)^2[/tex]
[tex]4r^2+9r^2-6br+b^2=b^2+2br+r^2[/tex]
[tex]12r^2=8rb[/tex]
[tex]3r=2b[/tex]
[tex]b=\frac{3}{2} r[/tex]
Obliczmy pole trapezu:
[tex]P=\frac{(\frac{3}{2}r+3r)*2r }{2} =\frac{9}{2} r*r=\frac{9}{2} r^2[/tex]
Własnością okręgu wpisanego w czworokąt, jest to że w czworokąt można wpisać okrąg tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe.
