Odpowiedź :
Odpowiedź:
Zad.1
W pierwszym kroku obliczmy długość odcinka AC, czyli przekątnej tego kwadratu
[tex] |AC| = \sqrt{( - 1 - 6)^{2} + (4 - 8)^{2} } \\ \\ |AC| = \sqrt{( - 7)^{2} + ( - 4)^{2} } \\ \\ |AC| = \sqrt{49 + 16 } \\ \\ |AC| = \sqrt{65} [/tex]
Teraz obliczmy pole kwadratu korzystając z faktu że kwadrat to też romb (korzystamy ze wzoru na pole rombu oraz pamiętamy że kwadrat ma dwie identyczne przekątne)
[tex]P = \frac{ \sqrt{65} \cdot \sqrt{65} }{2} \\ \\ P = \frac{ 65 }{2} = 32 \frac{1}{2} [/tex]
Jeśli chodzi natomiast o promień okręgu opisanego, to jest to po prostu połowa przekątnej więc
[tex]R = \frac{ \sqrt{65} }{2} [/tex]
Zad.2
Mamy dany środek okręgu i styczną do tego okręgu.
Będziemy szukać prostej prostopadłej do stycznej oraz przechodzącej przez środek okręgu.
W ten sposób znajdziemy prostą zawierająca promień, który jest styczny do prostej danej w zadaniu.
Prosta której szukamy ma być prostopadła do prostej danej w zadaniu, zatem z warunku na prostopadłość mamy
[tex]a_1\cdot a_2=-1 \\ \\ 3 \cdot a_2=-1 \\ \\ a_2= - \frac{1}{3} [/tex]
Nasza prosta ma więc na chwilę obecną taką postać
[tex]y = - \frac{1}{3} x + b[/tex]
Wiemy, że ta prosta ma przechodzić przez środek okręg, czyli punkt S=(2, -5).
Podstawy więc współrzędne tego punktu do naszej prostej i obliczmy wartość współczynnika b
[tex]y = - \frac{1}{3} x + b \\ \\ -5= - \frac{1}{3} \cdot2+ b \\ \\ -5 = -\frac{2}{3} + b \\ \\ b = -5 + \frac{2}{3} = -4\frac{1}{3} [/tex]
Nasza prosta zawierająca promień wygląda więc następująco
[tex]y = - \frac{1}{3} x -4 \frac{1}{3} [/tex]
Teraz wyznaczmy punkt przecięcia tej prostej ze styczną. Wtedy dowiemy się jakie współrzędne ma punkt styczności
[tex]y = 3x - 2 \\ y = - \frac{1}{3} x - 4 \frac{1}{3} \quad | - \\ \\ 0 = 3x + \frac{1}{3} x - 2 + 4 \frac{1}{3} \\ \\ 0 = \frac{10}{3} x + \frac{7}{3} \\ \\ \frac{10}{3} x = - \frac{7}{3} \\ \\ 10x = - 7 \\ \\ x = - \frac{7}{10} \\ \\ y = 3x - 2 = 3 \cdot \left(- \frac{7}{10} \right) - 2 = - 4 \frac{1}{10} [/tex]
Zatem współrzędne punktu styczności to
[tex] \left( \frac{7}{10} , - 4\frac{1}{10} \right)[/tex]
Zad.3
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego środek.
Zacznijmy więc od wyznaczenia środka odcinka AB
[tex]S = \left( \frac{1 - 3}{2} ,\frac{3 - 4}{2} \right) \\ \\ S = \left( \frac{ - 2}{2} ,\frac{ - 1}{2} \right) \\ \\ S = \left( - 1 , - \frac{1}{2} \right)[/tex]
Teraz znajdźmy prostą zawierająca nasz odcinek AB, czyli mówiąc inaczej prostą przechodząca przez punkty A i B
[tex]3 = a + b \\ - 4 = - 3a + b \quad | - \\ \\ 7 = 4a\\ \\ a = \frac{7}{4} \\ \\ b = 3 - a = 3 - \frac{7}{4} = \frac{5}{4} [/tex]
Nasza prosta ma więc równanie
[tex]y = \frac{7}{4} x + \frac{5}{4} [/tex]
Wiemy że nasza symetralna ma być prostopadła do tej prostej, zatem
[tex]a_1\cdot a_2=-1 \\ \\ \frac{7}{4} \cdot a_2=-1 \\ \\ a_2= - \frac{4}{7}[/tex]
Nasza symetralna ma więc na chwilę obecną taką postać
[tex]y = - \frac{4}{7} x + b[/tex]
Symetralna musi przechodzić przez środek naszego odcinka, więc wstawmy współrzędne środka, które wyznaczyliśmy do naszego wzoru
[tex] - \frac{1}{2} = - \frac{4}{7} \cdot( - 1) + b \\ \\ - \frac{1}{2} = \frac{4}{7}+ b \\ \\ - \frac{1}{2} - \frac{4}{7} = b \\ \\ b = - \frac{7}{14} - \frac{8}{14} = - \frac{15}{14} [/tex]
Zatem równanie naszej symetralnej to
[tex]y = - \frac{4}{7} x- \frac{15}{14} [/tex]