Równanie kwadratowe z parametrem.
- Mamy równanie:
[tex]x^2 - (m-2)x - m-5 =0[/tex] - Wyznaczamy deltę równania kwadratowego:
[tex]\Delta = (m-2)^2 - 4(-m-5) = m^2 - 4m +4 +4m +20 = m^2 +24[/tex] - A wtedy pierwiastki wynoszą:
[tex]x_{1,2} = \frac{1}{2} \left(m-2 \pm \sqrt{m^2 + 24}\right)[/tex] - Mamy więc do spełnienia nierówności:
[tex]\frac{1}{2} \left(m-2 \pm \sqrt{m^2 + 24}\right) < 1\\m-2 \pm \sqrt{m^2 + 24} < 2\\\pm \sqrt{m^2 + 24} < 4-m\\m^2 + 24 < 16 - 8m +m^2\\8 < -8m\\m < -1[/tex] - Czyli pierwiastki są mniejsze od 1, gdy parametr [tex]m \in (-\infty , -1)[/tex]
Warto zauważyć, że:
[tex]-\sqrt{x^2 + a} < b-x[/tex]
z pewnością dla każdego [tex]a > 0 \quad i \quad b > 0[/tex]
ponieważ sprowadza się do postaci:
[tex]x-\sqrt{x^2 +a} < b\\\sqrt{x^2} - \sqrt{x^2 +a} < b[/tex]
co daje nam po lewej wartość ujemną, zaś po prawej dodatnią
