Odpowiedź:
[tex]x=6[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]$5x+10+\frac{20}{x} +\frac{40}{x^{2}} +...=5x+15[/tex]
Dla uproszczenia dzielimy stronami przez [tex]5[/tex] :
[tex]$x+2+\frac{4}{x} +\frac{8}{x^{2}} +...=x+3[/tex]
Po uproszczeniu:
[tex]$\frac{4}{x} +\frac{8}{x^{2}} +...=1[/tex]
Jest to ciąg geometryczny, w którym:
[tex]$a_{1}=\frac{4}{x}[/tex]
[tex]$q=\frac{2}{x}[/tex]
Aby zachować sens zadania ciąg musi być zbieżny, czyli [tex]|q| < 1[/tex] :
[tex]$\Big|\frac{2}{x} \Big| < 1 \iff \frac{2}{x} < 1 \wedge \frac{2}{x} > -1 \iff 2x < x^{2} \wedge 2x > -x^{2}[/tex]
Po rozwiązaniu nierówności kwadratowych:
[tex]$x \in (-\infty,-2) \cup (2,\infty)[/tex]
Teraz możemy już zsumować wyrazy ciągu:
[tex]$S=\frac{a_{1}}{1-q} =\frac{\frac{4}{x} }{1-\frac{2}{x} } =\frac{4}{x-2}[/tex]
Zatem mamy proste równanie:
[tex]$\frac{4}{x-2} =1[/tex]
[tex]4=x-2[/tex]
[tex]x=6 \in (-\infty,-2) \cup (2,\infty)[/tex]
