Odpowiedź:
zad 1
f(x)= 2x²+ 8x + 4
Do naszkicowania paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej potrzebne są charakterystyczne punkty tej paraboli
- miejsca zerowe
- współrzędne wierzchołka paraboli
- punkt przecięcia paraboli z osią OY
Miejsca zerowe
2x² + 8x + 4 = 0
a = 2 , b = 8 , c = 4
Δ = b² - 4ac = 8² - 4 * 2 * 4 = 64 - 32 = 32
√Δ = √32 = √(16 * 2) = 4√2
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = (- 8 - 4√2)/4 = - 4(2 + √2)/4 = - ( 2 + √2)
x₂ = ( - b + √Δ)/2a = (- 8 + 4√2)/4 = 4(√2 - 2)/4 = √2 - 2
Współrzędne wierzchołka
p= - b/2a = - 8/4 = - 2
q = - Δ/4a = - 32/4 = - 8
W = ( - 2 , - 8 )
Punkt przecięcia paraboli z osią OY
y₀ = c = 4
a > 0,więc ramiona paraboli skierowane do góry
Wykres w załączniku nr 1
Monotoniczność funkcji
f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ (- ∞ , -2>
f(x)↑(rosnąca) ⇔x ∈ < - 2 , ∞ )
Zbiór wartości funkcji
ZWf: y ∈ < - 8 , ∞ )
Współrzędne wierzchołka paraboli
W = ( - 2 , - 8 )
Postać kanoniczna
f(x) = a(x - p)²+q = 2(x + 2)²- 8
zad 2
f(x) = - x² - 2
Miejsca zerowe
-x² - 2 = 0
a = - 1 , b = 0 , c = - 2
Δ = b² - 4ac = 0² - 4 * (- 1) * (-2) = 0 - 8 = - 8
Δ < 0 i a < 0 , więc parabola nie ma miejsc zerowych i z ramionami do dołu leży całkowicie pod osią OX
Współrzędne wierzchołka paraboli
p = - b/2a = 0/(- 2) = 0
q = - Δ/4a = 8/(- 4) = - 8/4 = - 2
W = ( 0 , - 2 )
Punkt przecięcia paraboli z osią
y₀ = c = - 2
Monotoniczność funkcji
f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ ( - ∞ , 0 >
f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ < 0 , ∞ )
Wykres w załączniku nr 2
f(x) = 2(x - 4)²+ 1
Miejsca zerowe
2(x + 4)²+1 =0
2(x² + 8x + 16) + 1 = 0
2x² + 16x + 32 + 1 = 0
2x² + 16x + 33 = 0
a = 2 , b = 16 , c = 33
Δ = b² - 4ac = 16² - 4 * 2 * 33 = 256 - 264 = - 8
Δ < 0 i a > 0 , więc parabola nie ma miejsc zerowych i z ramionami do góry leży całkowicie nad osią OX
Współrzędne wierzchołka paraboli
p = 4
q = 1
W = ( 4 , 1 )
Punkt przecięcia paraboli z osią OY
y₀ = c = 33
Monotoniczność funkcji
f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ ( - ∞ , 4 >
f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ < 4 , ∞ )
Wykres w załączniku nr 3
zad 3
f(x) =1/2(x - 4)² - 6 = 1/2(x² - 8x + 16) - 6 = 1/2x² - 4x + 8 - 6 =
= 1/2x² - 4x + 2
a = 1/2 , b = - 4 , c = 2
Δ = b² - 4ac = (- 4)² - 4 * 1/2 * 2 = 16 - 4 = 12
zad 4
y = - 2x² - 3x + 1
a = - 2 , b = - 3 , c = 1
Δ = b² - 4ac = (- 3)² - 4 * (- 2) * 1 = 9 + 8 = 17
p = - b/2a = 3/(- 4) = - 3/4
q = - Δ/4a = - 17/(- 8) = 17/8 = 2 1/8
W = ( - 3/4 ; 2 1/8 )
zad 5
f(x) = ax² + bx + c ; P = (- 2 , 0 ) ; W = (- 1 , 3 )
Postać kanoniczna funkcji
f(x) = a(x + 1)² + 3 , P = (- 2 , 0 )
0 = a(- 2 + 1)² + 3
0 = a * ( - 1)² + 3
0 = a + 3
a = - 3
f(x) = - 3(x + 1)² + 3 = - 3(x² + 2x + 1) + 3 = - 3x² - 6x - 3 + 3 = - 3x² - 6x
a = - 3 , b = - 6 , c = 0
zad 6
y=1/2x²- 3/4x +6
a = 1/2 , b = - 3/4 , c = 6
Δ = b² - 4ac = (- 3/4)² - 4 * 1/2 * 6 = 9/16 - 12 = 9/16 - 11 16/16 = - 11 7/16
p = - b/2a = 3/4 : (2 * 1/2) = 3/4 : 1 = 3/4
q = 11 7/16 : (4 * 1/2) = 11 7/16 * 1/2 = 183/32 = 5 23/32
W = ( 3/4 , 5 23/32 )
