Żeby równanie ax²+bx+c=0 mogło mieć dwa pierwiastki, musi być równaniem kwadratowym, czyli współczynnik przy x² musi był różny od zera (a≠0).
Aby pierwiastki były różne, wyróżnik równania musi być dodatni (Δ>0).
Iloczyn pierwiastków różnych znaków jest ujemny (x₁x₂<0).
A ostatni warunek: |x₁| + |x₂| ≤ 4 oznacza (z def. wart. bezwzgl.), że:
x₁ - x₂ ≤ 4 ∨ x₂ - x₁ ≤ 4
[tex]x^2-(m+2)x+m+5=0\quad\implies\quad a=1,\ \ b=-(m+2),\ \ c=m+5[/tex]
a = 1 ≠ 0, czyli pierwszy warunek jest spełniony
Sprawdzamy dla jakich m spełniony jest drugi warunek:
[tex]\Delta=[-(m+2)]^2-4(m+5)=m^2+4m+4-4m-20=m^2-16\\\\m^2-16 > 0\\\\(m+4)(m-4) > 0\\\\m_1=-4,\ \ m_2=4\\\\a_m > 0\ \wedge\ m^2-16 > 0\quad \implies\quad\underline{ m\in(-\infty\,,\, -4)\cup(4\,,\ \infty)}[/tex]
Sprawdzamy dla jakich m spełniony jest trzeci warunek:
[tex]x_1x_2 < 0\\ze\ wzoru\ Viete'a\ przy\ \Delta > 0:\quad x_1x_2=\dfrac ca \\\\\dfrac ca < 0\\\\\dfrac{m+5}1 < 0\\\\m < -5\\\\\underline{m\in(-\infty,-5)}[/tex]
Sprawdzamy dla jakich m spełniony jest czwarty warunek:
Skoro suma wartości bezwzględnych dwóch liczb jest ≤4, to kwadrat ich różnicy będzie ≤4², zatem możemy podnieść nierówność x₁ - x₂ ≤ 4 obustronnie do kwadratu:
[tex](x_1-x_2)^2\le4^2\\\\x_1^2-2x_1x_2+x_2^2\le16\\\\x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1x_2\le16\\\\(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\le16\\\\[/tex]
Korzystając ze wzorów Viete'a otrzymujemy:
[tex]\left(\dfrac{-b}a\right)^2-4\cdot\dfrac ca\,\le\,16\\\\\left(\dfrac{m+2}1\right)^2-4\cdot\dfrac {m+5}1\,\le\,16\\\\m^2+4m+4-4m-20\le16\\\\m^2-32\le0\\\\\left(m+\sqrt{32}\right)\left(m-\sqrt{32}\right)\le0\\\\m_3=-4\sqrt2\,,\quad m_4=4\sqrt2\,,\quad a_m > 0\,\quad m_2-32\le0\\\\\underline{m\in\left < {-}4\sqrt2\,,\ 4\sqrt2\,\right > }[/tex]
{Z warunku x₂ - x₁ ≤ 4, analogicznie otrzymamy ten sam przedział}
Wszystkie trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:
[tex]\begin{cases}m\in(-\infty,-4)\cup(4\,,\,\infty)\\m\in(-\infty,-5)\\m\in\big < {-}4\sqrt2\,,\ 4\sqrt2\,\big > \end{cases}\qquad\implies\quad \large\boxed{m\in\big < {-}4\sqrt2,-5)}[/tex]
