Odpowiedź:
x = 0
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{24}x^4+...=\frac{1}{3}x[/tex]
Lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym
[tex]a_1=\frac{1}{6}x^2\qquad q=\frac{-\frac{1}{12}x^3}{\frac{1}{6}x^2}=-\frac{1}{2}x[/tex]
Aby istniała suma nieskończonego ciągu geometrycznego, musi być spełniony warunek:
[tex]-1 < q < 1[/tex]
Zatem
[tex]\left \{ {{-\frac{1}{2}x > -1\ |*(-2)} \atop {-\frac{1}{2}x < 1\ |*(-2)}} \right. \\\left \{ {{x < 2} \atop {x > -2}} \right. \\x\in(-2,2)[/tex]
Wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego to
[tex]S=\frac{a_1}{1-q}[/tex]
Zatem
[tex]\frac{\frac{1}{6}x^2}{1+\frac{1}{2}x}=\frac{1}{3}x\ |*(1+\frac{1}{2}x)\\\\\frac{1}{6}x^2=\frac{1}{3}x*(1+\frac{1}{2}x)\\\\\frac{1}{6}x^2=\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}x^2\ |-\frac{1}{6}x^2\\\\0=\frac{1}{3}x\ |*3\\\\x=0[/tex]
Znaleziony x spełnia założony wcześniej warunek dla q.
