Droga z Tulipanowa do Hiacyntowa prowadzi 10 km pod górę, 6 km z góry i 25 km po płaskim terenie. Klaudiusz, jadąc z Tulipanowa do Hiacyntowa motocyklem, przebył tę drogę w czasie 51 minut. Drogę powrotną przebył w czasie 49 minut, jadąc z takimi samymi prędkościami pod górkę, z górki i po terenie płaskim jak podczas drogi z Tulipanowa do Hiacyntowa. Oblicz, jaka była prędkość Klaudiusza pod górę i z góry, jeżeli po terenie płaskim jechał z prędkością 50 km/h.

Mamy dane:
50 km/h - prędkość na terenie płaskim
51 minut z Tulipanowa do Hiacyntowa
49 minut z Hiacyntowa do Tulipanowa
oraz schemat drogi:
> Tulipanowo
> 10km pod górę
> 6km z góry
> 25 po płaskim terenie
> Hiacyntowo
Oznaczmy jako niewiadome:
prędkość pod górę [tex]g[/tex]
prędkość z górki [tex]d[/tex]
Zależność między prędkością, drogą i czasem jest postaci:
[tex]v= \frac{s}{t} \to t = \frac{s}{v}[/tex]
Możemy napisać układ równań:
[tex]10/g + 25/50 + 6 / d = 51 / 60 \\6/g + 25/50 + 10/d = 49/60[/tex]
gdzie dzielimy prawą stronę równania przez 60, by zamienić jednostki: minuty na godziny.
Rozwiązujemy:
[tex]10/g + 6 / d = 51 / 60 - 1/2\\6/g + 10/d = 49/60 - 1/2\\\\1/g = 21/600 - 6/10d\\6*(21/600 - 6/10d) + 10/d = 19/60\\\\126/600 - 36/10d + 10/d = 19/60\\1/g = 21/600 - 6/10d\\\\64/10d = 64/600\\1/g = 21/600 - 6/10d\\\\1/d = 1/60\\1/g = 21/600 - 6/10 * (1/60)\\\\d= 60\\1/g = 1/40\\\\d=60\\g=40[/tex]
Czyli prędkość pod górę wynosi 40km/h, zaś z górki 60km/h.

Warto czasami dla ułatwienia obliczeń zamiast przekształcać niewiadome, posługiwać się niewiadomymi "pomocniczymi" - jak w powyższych obliczeniach. Przykładowo zamiast samym [tex]x[/tex] w równaniu:
[tex]x^4 + 2x^2 + 1[/tex]
posługiwać się [tex]x^2[/tex] i dostać łatwą do rozwiązania (ze wzorów skróconego mnożenia) funkcję kwadratową. Powyżej z kolei wyrazami postaci [tex]1/x[/tex]