Kąt ostry rombu ABCD ma miarę 60 stopni . Na bokach AB i AD tego rombu wybrano punkty – odpowiednio – E i F takie, że |BE | = |AF | = 1/3 |AB | . Odcinki BF i DE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt P leży na okręgu opisanym na trójkącie BCD .

Zastanówmy się, co chcemy udowodnić:
punkt P ma leżeć na okręgu opisanym na trójkącie BCD.
Innymi słowy znaczy to:
na czworokącie PBCD można opisać okrąg.
By na dowolnym czworokącie można było opisać okrąg, suma miar jego naprzeciwległych kątów musi być równa 180°.
Z treści wiemy, że kąt ostry rombu ABCD ma 60°, czyli:
[tex]| \angle BCD|=60^\circ[/tex]
musimy więc pokazać, że:
[tex]| \angle BPD|=180^\circ-60^\circ = 120 ^\circ[/tex]
Zauważamy, że trójkąt ABD jest równoboczny (ABCD to romb - ma równe boki oraz kąt BAD ma 60°).
Stąd też podzielenie boków w tych samych proporcjach powoduje powstanie trójkątów przystających:
[tex]\triangle ABF \equiv \triangle BDE[/tex]
tym samym:
[tex]| \angle ABF|=| \angle BDE|[/tex]
Z kolei:
[tex]| \angle PBD|=60^\circ - | \angle ABF|[/tex]
Finalnie sumując kąty w trójkącie PBD dostajemy:
[tex]180^\circ = | \angle PBD|+| \angle BDP|+| \angle DPB|\\180^\circ = (60^\circ - | \angle ABF|) + | \angle BDE| + | \angle DPB|\\180^\circ = 60^\circ - | \angle ABF| + | \angle ABF| + | \angle DPB|\\| \angle DPB| = 120^\circ[/tex]
co kończy dowód.

Z kolei by na czworokącie można było opisać okrąg: sumy długości par naprzeciwległych boków muszą być sobie równe.