2.
Pierwsza działka:
Obwód prostokąta o bokach a i b, to 2a+2b
2a+2b = 160 /:2
a + b = 80
Czyli suma długości dwóch sąsiednich boków działki wynosi 80 m.
Zatem:
a = x - jeden bok działki {x > 0}
b = 80 - x - drugi bok działki {80 - x > 0 ⇒ x < 80}
Pole prostokąta to P = a·b
Czyli otrzymujemy funkcję:
P(x) = x(80 - x) x ∈ (0, 80)
P(x) = 80x - x² ⇒ a = -1, b = 80
Funkcja kwadratowa o a<0 przyjmuje wartość największą (q) na wierzchołku, czyli dla argumentu p.
[tex]p=\frac{-b}{2a}=\frac{-80}{2(-1)}=40\\\\q=P(p)=80\cdot40-40^2=3200-1600 = 1600[/tex]
Pole pierwszej działki to 1600 m²
Druga działka:
Tym razem siatka obejmuje tylko 3 boki prostokąta, czyli
a₂+2b₂ = 160
a₂ = 160 - 2b₂
Zatem:
b₂ = y - jeden bok działki {y > 0}
a₂ = 160 - 2y - drugi bok działki {160 - 2y > 0 ⇒ y < 80}
P₂ = a₂·b₂
Czyli otrzymujemy funkcję:
P₂(y) = y(160 - 2y) y ∈ (0, 80)
P₂(y) = 160y - 2y² ⇒ a₂ = -2, b₂ = 160
[tex]p_2=\frac{-b_2}{2a_2}=\frac{-160}{2(-2)}=40\\\\q_2=P_2(p_2)=160\cdot40-2\cdot40^2=6400-3200 = 3200[/tex]
Pole drugiej działki to 3200 m²
3200 - 1600 = 1600
Odp.:
Pole drugiej działki jest o 1600 m² większe od pola pierwszej działki.
1.
Punkt wspólny wykresu wielomianu z osią 0Y, to punkt (0, f(0))
[tex]w(x)=x^4+6x^3+8x^2-6x-9\\\\w(0)=0^4+6\cdot0^3+8\cdot0^2-6\cdot0-9=-9[/tex]
Wykres wielomianu przecina oś 0Y w punkcie (0, -9)
Punkty wspólne wykresu z osią 0X, to punkty o współrzędnych (x, 0), czyli należy wyznaczyć iksy dla których wielomian przyjmuje wartość 0
y = 0 ⇔ w(x) = 0
[tex]x^4+6x^3+8x^2-6x-9=0\\\\x^4+6x^3+9x^2-x^2-6x-9=0\\\\x^2(x^2+6x+9)-(x^2+6x+9)=0\\\\(x^2+6x+9)(x^2-1)=0\\\\(x+3)^2(x+1)(x-1)=0\\\\(x+3)^2=0\quad\vee\quad x+1=0\quad\vee\quad x-1=0\\\\{}\ x=-3\qquad\vee\qquad x=-1\qquad\vee\qquad x=1[/tex]
Wykresu wielomianu przecina oś 0X w punktach: (-3, 0), (-1, 0) i (1, 0)
Wykres w załączniku.
w(x) > 0 dla x ∈ (-∞, -3)∪(-3, -1)∪(1, ∞)
(Rozkładając wielomian na czynniki korzystamy z grupowania wyrazów, wyłączania wspólnego czynnika przed nawias i wzorów skróconego mnożenia, ale jeśli wolisz możesz wykorzystać schemat Hornera i Deltę}
