Tożsamości trygonometryczne.
- Wiemy z treści, że [tex]\sin \alpha \cdot \cos \alpha = 0,25=\frac{1}{4}[/tex]
- Z kolei z "jedynki trygonometrycznej" mamy:
[tex]\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1[/tex] - Mamy dwie możliwości:
[tex]*[/tex] albo rozwiązać układ równań,
[tex]*[/tex] albo sprytnie skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia (licząc kwadrat szukanej sumy):
[tex](\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha[/tex] - Co po podstawieniu wartości daje nam:
[tex]\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha } = \sqrt{1+2*\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}[/tex]
Inną przydatną tożsamością w tego typu zadaniach (oprócz jedynki trygonometrycznej) jest przykładowo:
[tex]\cos^2 x -\sin^2 x = \cos 2x[/tex]
Pozostałe tożsamości można wyprowadzić z powyższych dwóch
(i ewentualnie korzystając z wzorów redukcyjnych)
