Geometria analityczna (równanie prostej, proste prostopadłe).
Mamy dane równania prostych:
l: y = 4x - 5
k: y = 6x - 11
m: y = 1,5x + 0,5
n: y = 2,5x - 3,5
Szukamy współrzędnych punktu A przecięcia prostych l i k rozwiązując układ równań metodą podstawiania:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}y=4x-5&(1)\\y=6x-11&(2)\end{array}\right[/tex]
Podstawiamy (2) do (1):
[tex]6x-11=4x-5\qquad|+11\\6x=4x+6\qquad|-4x\\2x=6\qquad|:2\\\boxed{x=3}[/tex]
Podstawiamy wartość x do równania (1):
[tex]y=4\cdot3-5\\\boxed{y=7}[/tex]
Mamy punkt [tex]\boxed{A(3;\ 7)}[/tex].
Podobnie jak poprzednio szukamy współrzędnych punktu B przecięcia prostych m i n:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}y=1,5x+0,5&(1)\\y=2,5x-3,5&(2)\end{array}\right[/tex]
Podstawiamy (2) do (1):
[tex]2,5x-3,5=1,5x+0,5\qquad|+3,5\\2,5x=1,5x+4\qquad|-1,5x\\\boxed{x=4}[/tex]
Podstawiamy wartość x do równania (1):
[tex]y=1,5\cdot4+0,5\\\boxed{y=6,5}[/tex]
Mamy punkt [tex]\boxed{B(4;\ 6,5)}[/tex].
Mamy znaleźć równanie prostej zawierającej symetralną odcinka AB.
Symetralna odcinka jest to prosta prostopadła do odcinka dzieląca go na dwie równe części.
Jeżeli dwie proste p: y = a₁x + b₁ i r: y = a₂x + b₂ są prostopadłe, to a₁a₂ = -1.
Wzór na współczynnik kierunkowy a prostej przechodzącej przez dwa punkty:
[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex]
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:
[tex]A(3;\ 7),\ B(4;\ 6,5)\\\\a_1=\dfrac{6,5-7}{4-3}\\\\a_1=\dfrac{-0,5}{1}\\\\\boxed{a_1=-0,5}[/tex]
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB:
[tex]-0,5\cdot a_2=-1\qquad|\cdot(-2)\\\\\boxed{a_2=2}[/tex]
Mamy wyjściową postać szukanej prostej:
[tex]y=2x+b[/tex]
Prosta przechodzi przez środek odcinka AB, który wyznaczymy korzystając ze wzoru:
[tex]S_{AB}\left(\dfrac{x_a+x_B}{2};\ \dfrac{y_A+y_b}{2}\right)[/tex]
Podstawiamy współrzędne punktów A i B:
[tex]S_{AB}\left(\dfrac{3+4}{2};\ \dfrac{7+6,5}{2}\right)\to S_{AB}(3,5;\ 6,75)[/tex]
Współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie prostej.
Podstawiamy współrzędne środka odcinka AB i obliczamy wartość b:
[tex]6,75=2\cdot3,5+b\\\boxed{b=-0,25}[/tex]
Ostatecznie otrzymujemy równanie szukanej prostej:
[tex]\huge\boxed{y=2x-0,25}[/tex]
