Witaj :)
Na początek zdefiniujmy sobie czym jest logarytm:
[tex]\Large \boxed{\log_ab=c\iff a^c=b, \ \ \ a,b > 0\ \ \ \land \ \ a\neq 1}[/tex]
Co odczytujemy: Logarytm przy podstawie "a" z liczby "b" równa się "c", wtedy i tylko wtedy gdy "a" podniesione do potęgi "c" da w wyniku "b", przy czym liczby "a" oraz "b" są większe od 0 (dodatnie) i liczba "a" jest różna od 1.
W naszych przykładach mamy do czynienia z logarytmami dziesiętnymi co oznacza, że w podstawie logarytmu mamy liczbę 10. Możemy zatem zapisać:
[tex]\Large \boxed{\log b=\log_{10}b=c\iff 10^c=b}[/tex]
Do rozwiązania zadania będzie nam potrzebny pewien wzór:
[tex]\Large \boxed{log_ab+log_ac=log_a(b\cdot c)}[/tex]
Wzór ten mówi nam o tym, że suma dwóch logarytmów przy tych samych podstawach jest równa logarytmowi przy tej podstawie z iloczynu liczb logarytmowanych. Przejdźmy do przykładów:
Przykład a
Wiemy, że:
[tex]\log27\approx 1,4\\\log 5\approx 0,7[/tex]
Mamy obliczyć przybliżoną wartość następującego wyrażenia:
[tex]\log270-4\cdot \log0,05[/tex]
Musimy jakoś rozbić nasze dwa logarytmy, abyśmy mogli skorzystać z tego, co wiemy z treści. Ponieważ:
[tex]270=27\cdot 10,\ i\ \ 0,05=5\cdot 10^{-2}[/tex]
Więc:
[tex]\log(27\cdot10)-4\cdot \log(5\cdot10^{-2})[/tex]
W tym miejscu możemy skorzystać z naszego wzoru:
[tex]\log27+\log10-4\cdot(\log5+\log10^{-2})\approx 1,4+1-4\cdot(0,7-2)\approx 2,4-4\cdot(-1,3)\approx\\\approx 2,4+5,2\approx 7,6[/tex]
Więc przybliżona wartość naszego wyrażenia jest równa:
[tex]\Large \boxed{\log270-4\cdot \log0,05\approx 7,6}[/tex]
Przykład b
Rozwiązanie go będzie analogiczne do przykładu wyżej.
Wiemy, że:
[tex]\log56\approx 1,7\\\log 3\approx 0,5[/tex]
Musimy obliczyć przybliżoną wartość następującego wyrażenia:
[tex]\log5600-4\cdot \log0,3[/tex]
Ponieważ:
[tex]5600=56\cdot 100, \ i\ 0,3=3\cdot 10^{-1}[/tex]
Więc:
[tex]\log(56\cdot100)-4\cdot log(3\cdot 10^{-1})[/tex]
Korzystając ze wzoru mamy:
[tex]\log56+\log100-4\cdot(\log3+\log10^{-1})\approx 1,7+2-4\cdot (0,5-1)\approx 3,7-4\cdot(-0,5)\approx\\\approx 3,7+2\approx 5,7[/tex]
Wobec czego przybliżona wartość naszego wyrażenia wynosi:
[tex]\Large \boxed{\log5600-4\cdot \log0,3\approx 5,7}[/tex]
