Indukcja matematyczna - liczba przekątnych n-kąta wypukłego.
- Pierwszy krok indukcyjny:
dla liczby kątów n=3: [tex]\frac{n(n-3)}{2} = \{n=3\} = 0[/tex]
faktycznie - trójkąt nie ma przekątnych. - Założenie indukcyjne:
Niech dla liczb naturalnych k z przedziału [tex]2 < k < n[/tex] będzie spełnione, że liczba przekątnych k-kąta wypukłego wynosi:
[tex]\frac{k(k-3)}{2} = \frac{1}{2} (k^2 - 3k)[/tex] - Drugi krok indukcyjny (teza):
zbadajmy, czy dla (n+1)-kąta wypukłego liczba przekątnych jest równa:
[tex]\frac{(k+1)(k-2)}{2} = \frac{1}{2}(k^2-2k+k-2) = \frac{1}{2}(k^2-k-2)[/tex] - Badana figura jest złożona z n-kąta i trójkąta przyklejonego do jednego z boków n-kąta, stąd:
[tex]*[/tex] n-kąt ma [tex]\frac{n(n-3)}{2}[/tex] przekątnych;
[tex]*[/tex] doczepiony trójkąt daje nam [tex](n+1)-3[/tex] dodatkowe przekątne (odcinki łączące doczepiony wierzchołek z pozostałymi wierzchołkami oprócz dwóch sąsiednich i niego samego);
[tex]*[/tex] dodatkowo bok n-kąta, będący podstawą trójkąta doczepionego także staje się przekątną;
[tex]*[/tex] sumując dostajemy:
[tex]\frac{n(n-3)}{2} + (n+1)-3 +1 = \frac{1}{2} (n^2 - 3n) +n -1 =\\ = \frac{1}{2} (n^2 - 3n+2n -2) = \frac{1}{2} (n^2 - n -2)[/tex] - W związku z powyższym udało nam się odtworzyć wzór z tezy indukcyjnej, co kończy dowód.
Z kolei chcąc wyznaczyć sumę kątów dowolnego n-kąta także możemy skorzystać z indukcji matematycznej, dzieląc n-kąt przekątnymi z jednego wierzchołka na (n-2) trójkąty. Dostaniemy tym sposobem, że suma kątów wynosi:
[tex](n-2)*180 ^\circ[/tex]
