Aby wyznaczyć dziedzinę, należy założyć, że:
- mianownik jest różny od zera,
- wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia parzystego jest nieujemne,
- wyrażenie logarytmowane jest dodatnie.
a)
[tex]x^2+5x-9\\D=\mathbb{R}[/tex]
b)
[tex]\frac{1}{x+1}\\x+1\neq 0\\x\neq -1\\D=\mathbb{R}-\{-1\}[/tex]
c)
[tex]\frac{1}{x^2-4}\\x^2-4\neq 0\\(x-2)(x+2)\neq 0\\x-2\neq 0\land x+2\neq 0\\x\neq 2\land x\neq -2\\D=\mathbb{R}-\{-2,2\}[/tex]
d)
[tex]\frac{1}{x^2+3x+5} \\x^2+3x+5\neq 0\\\Delta=3^2-4*1*5=9-20=-11 < 0\\D=\mathbb{R}[/tex]
e)
[tex]\sqrt{x-3}\\x-3\geq 0\\x\geq 3\\D= < 3,+\infty)[/tex]
f)
[tex]\sqrt{-x}\\-x\geq 0\ |*(-1)\\x\leq 0\\D=(-\infty,0 >[/tex]
g)
[tex]\sqrt{x+5}-\sqrt{3-x}\\x+5\geq 0\land 3-x\geq 0\\x\geq -5\land x\leq 3\\D= < -5,3 >[/tex]
h)
[tex]\sqrt{x^2-5x+6}\\x^2-5x+6\geq 0\\\Delta=(-5)^2-4*1*6=25-24=1\\\sqrt\Delta=1\\x_1=\frac{5-1}{2}=2\ ,\ x_2=\frac{5+1}{2}=3\\(x-2)(x-3)\geq 0\\D=(-\infty,2 > \cup < 3,+\infty)[/tex]
i)
[tex]\frac{1}{\sqrt{2-x}}\\2-x\geq 0\land\sqrt{2-x}\neq 0\\x\leq 2\land2-x\neq 0\\x\leq 2\land x\neq 2\\x < 2\\D=(-\infty,2)[/tex]
j)
[tex]\frac{x}{\sqrt[3]{2x-3}}\\\sqrt[3]{2x-3}\neq 0\\2x-3\neq 0\\2x\neq 3\ |:2\\x\neq 1\frac{1}{2}\\D=\mathbb{R}-\{1\frac{1}{2}\}[/tex]
k)
[tex]\ln(3-x)\\3-x > 0\\x < 3\\D=(-\infty,3)[/tex]
l)
[tex]\log_2{[\log_3{(x-1)}]}\\x-1 > 0\land\log_3{(x-1)} > 0\\x > 1\land\log_3{(x-1)} > \log_31\\x > 1\land x-1 > 1\\x > 1\land x > 2\\x > 2\\D=(2,+\infty)[/tex]
m)
[tex]\frac{\log_2{(15-x)}}{\log_3(x+1)}\\15-x > 0\land x+1 > 0\land\log_3(x+1)\neq 0\\x < 15\land x > -1\land\log_3(x+1)\neq \log_31\\x < 15\land x > -1\land x+1\neq 1\\x < 15\land x > -1\land x\neq 0\\D=(-1,0)\cup(0,15)[/tex]
n)
[tex]\sqrt{x-2}\ln(1-x)\\x-2\geq 0\land 1-x > 0\\x\geq 2\land x < 1\\D=\varnothing[/tex]
o)
[tex]\sqrt{5x-2}+\log_2(5x)\\5x-2\geq 0\land 5x > 0\ |:5\\5x\geq 2\ |:5\land x > 0\\x\geq \frac{2}{5}\land x > 0\\D= < \frac{2}{5},+\infty)[/tex]
