Stereometria (bryły obrotowe).
Walec - bryła obrotowa powstała na skutek obrotu prostokąta względem jego osi symetrii lub jednego z boków.
Pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_c=2P_p+P_b\\\\P_p=\pi r^2\\\\P_b=2\pi rH[/tex]
[tex]P_c[/tex] - pole powierzchni całkowitej
[tex]P_p[/tex] - pole podstawy (koła)
[tex]r[/tex] - promień postawy
[tex]H[/tex] - wysokość walca
Objętość:
[tex]V=P_p\cdot H=\pi r^2H[/tex]
Stożek - bryła obrotowa powstała na skutek obrotu trójkąta równoramiennego względem jego osi symetrii lub obrotu trójkąta prostokątnego względem jednej z przyprostokątnych.
Pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_c=P_p+P_b\\\\P_p=\pi r^2\\\\P_b=\pi rl[/tex]
Objętość:
[tex]V=\dfrac{1}{3}P_p\cdot H=\dfrac{1}{3}\pi r^2H[/tex]
Zad.11.3.1
Przekrojem osiowym walca jest prostokąt 2r × H. Mammy daną jego przekątną.
wiemy również, że pole powierzchni bocznej jest czterokrotnie większe od pola podstawy. Stąd mamy:
[tex]P_b=4P_p\\\\2\pi rH=4\pi r^2\qquad|:2\pi r\neq0\\\\H=2r[/tex]
Stąd otrzymujemy, że powierzchnia boczna jest kwadratem o boku 2r.
Przekątna d kwadratu o boku a wyraża się wzorem d = a√2. Stąd mamy równanie:
[tex]2r\sqrt2=8\qquad|\cdot\sqrt2\\\\4r=8\sqrt2\qquad|:4\\\\\boxed{r=2\sqrt2}[/tex]
Obliczamy długość H:
[tex]H=2r\to H=2\cdot2\sqrt2\\\\\boxed{H=4\sqrt2}[/tex]
Obliczamy objętość walca:
[tex]V=\pi\cdot(2\sqrt2)^2\cdot4\sqrt2=\pi\cdot4\cdot2\cdot4\sqrt2\\\\\huge\boxed{V=32\pi\sqrt2}[/tex]
Zad.11.3.2
Mamy daną objętość walca oraz to, że powierzchnia boczna jest kwadratem. Z drugiej części wynika, że H = 2r.
[tex]V=16\pi\Rightarrow\pi r^2H=16\pi[/tex]
Za H podstawiamy 2r:
[tex]\pi r^2\cdot2r=16\pi\qquad|:2\pi\\\\r^3=8\\\\r=\sqrt[3]8\\\\\boxed{r=2}[/tex]
Obliczamy wysokość walca:
[tex]H=2r\Rightarrow H=2\cdot2\\\\\huge\boxed{H=4}[/tex]
Zad.11.3.4
Skorzystamy z zależności miarowych w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30° i 60°.
Na podstawie tego mamy, że:
[tex]l=2r\to2r=16\qquad|:2\\\\\boxed{r=8}\\\\H=r\sqrt3\to \boxed{H=8\sqrt2}[/tex]
Obliczamy objętość stożka:
[tex]V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot8^2\cdot8\sqrt2\\\\\huge\boxed{V=\dfrac{512\pi\sqrt3}{3}}[/tex]
Zad.11.3.5
Taką, jaką częścią kąta pełnego jest dany kąt wycinka koła, taką samą częścią całego okręgu koła jest łuk tego wycinka, który odpowiada obwodowi podstawy.
[tex]\dfrac{240^o}{360^o}=\dfrac{2}{3}[/tex]
Obwód koła (długość okręgu) obliczamy ze wzoru:
[tex]L=2\pi r[/tex]
Czyli:
[tex]\dfrac{2}{3\!\!\!\!\diagup_1}\cdot2\pi\cdot12\!\!\!\!\!\diagup^4=2\pi r\\\\2\pi r=16\pi\qquad|:2\pi\\\\\boxed{r=8}[/tex]
Obliczamy pole podstawy:
[tex]P_p=\pi\cdot8^2\\\\\huge\boxed{P_p=64\pi}[/tex]
