ODP.: [tex]a_{99} + a_{47} = -122[/tex]
Dla ciągu arytmetycznego mamy:
- pierwszy wyraz oznaczamy [tex]a_1[/tex] (lub w zależności od upodobań: [tex]a_0[/tex]), różnicę między kolejnymi wyrazami oznaczamy [tex]r[/tex]
- wzór na n-ty wyraz ciągu jest postaci: [tex]a_n = a_1 + (n-1)*r[/tex]
- możemy także przedstawić wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego: [tex]S_n = \frac{2 a_1 + (n-1) r}{2}*n[/tex]
By rozwiązać zadanie zapiszemy równania:
[tex]a_{17}+a_{81} = a_1 +(17-1)r + a_1 + (81-1)r = -282\\a_{42}+a_{68} = a_1 +(42-1)r + a_1 + (68-1)r = -322\\[/tex]
Przekształcając powyższe:
[tex]2a_1 +96r = -282\\2a_1 +108r = -322\\[/tex]
Odejmując stronami:
[tex]12 r = -40\\r= -\frac{10}{3}[/tex]
A stąd (np. z pierwszego z równań) wyraz początkowy:
[tex]2 a_1 + 96 *(-\frac{10}{3}) = -282\\2 a_1 -320 = -282\\2a_1 = 38\\a_1 = 19[/tex]
Finalnie:
[tex]a_{99}+a_{47} = a_1 + (99-1)r + a_1 + (47-1)r = 2 a_1 + 144 r = 38 - 480 = - 442[/tex]
Zadania z ciągami (arytmetycznymi lub geometrycznymi) zazwyczaj polegają właśnie na zapisaniu układu równań, wyznaczeniu wyrazu początkowego oraz różnicy/ilorazu, a następnie policzeniu szukanej wielkości.
