Zadanie polega na obliczeniu objętości i pola powierzchni bocznej graniastosłupa.
Podstawa graniastosłupa
- Podstawa to trójkąt prostokątny (o przeciwprostokątnej [tex]\frac{4}{3}cm[/tex] i jednym z kątów o mierze [tex]30^\circ[/tex]). Jest to więc trójkąt (30,60,90) (widoczny na załączonym rysunku).
- Wnioskujemy więc, że trójkąt w podstawie ma boki:
[tex]\frac{4}{3}cm, \frac{2}{3}cm, \frac{2 \sqrt3}{3}cm[/tex] - Jego pole powierzchni wynosi:
[tex]P_p = \frac{1}{2}ah= \frac{1}{2}*\frac{2}{3} * \frac{2 \sqrt 3}{3} = \frac{2 \sqrt 3}{9}[cm^2][/tex]
Powierzchnia boczna graniastosłupa
- Po rozwinięciu jest kwadratem (którego jeden z boków to wysokość graniastosłupa a drugi jest równy obwodowi podstawy).
- Podstawa graniastosłupa to trójkąt o obwodzie:
[tex]Ob = \frac{4+2+2\sqrt3}{3} = \frac{6+2\sqrt3}{3} [cm][/tex] - Stąd kwadrat o takim boku ma pole:
[tex]P_k = (\frac{6+2 \sqrt3}{3})^2 = \frac{36+ 4*3 + 2*6*2\sqrt 3}{9} = \frac{48 + 24\sqrt 3}{9} = \frac{16 + 8\sqrt 3}{3} [cm^2][/tex]
Graniastosłup
- Pole powierzchni bocznej to pole kwadratu:
[tex]P_{PB}= P_k = \frac{16 + 8\sqrt 3}{3} [cm^2] \approx 9,95 [cm^2][/tex] - Objętość jest równa:
[tex]V = P_p * H = \frac{2\sqrt3}{9} * \frac{6+2\sqrt3}{3} = \frac{12+12\sqrt3}{27} = \frac{4+4\sqrt3}{9} [cm^3] \approx 1,21 [cm^3][/tex]
Warto zapamiętać wzory na objętość i pole powierzchni graniastosłupa o podstawie będącej trójkątem (o bokach a,b,c i wysokości - padającej na bok a - o długości h):
[tex]V = \frac{1}{2}ah*H[/tex]
[tex]P_{PC} = 2* P_p + P_{PB} = 2* \frac{1}{2} ah + (a+b+c)*H = ah + (a+b+c)*H[/tex]
