Odpowiedź:
A)
K: y = (1/3)x - 3
L; x - 3y = 0 to - 3y = - x /:(- 3) to y = (1/3)x
Odpowiedź: proste są do siebie równoległe.
Poza tym: Prosta L przechodzi przez początek układu współrzędnych, 0(0, 0); Prosta K przebiega pod prostą L i przecina oś 0y w punkcie (x, y) = (0, - 3)
B)
K: - 4x + 6y - 1 = 0 to 6y = 4x + 1 /:6 to y = (2/3)x + 1/6
L: x - 2y + 2 = 0 to - 2y = - x - 2 /:(- 2) to y = (1/2)x + 1
Odpowiedź:
Proste K i L przecinają się w punkcie: (x, y) = (5, 7/2) = (5, 3½)
pod kątem: tg φ = 0,2222 ..., to φ = 12º 32'
C)
K: x + √3 y - 2√3 = 0 to √3 y = - x + 2√3 /:√3 to y = - (√3/3)x + 2
L: y = (√3)x + 1
Z zależności na tg φ = tg [∢L1, L2] (tangens kąta miedzy dwoma prostymi):
tg φ = ∓ (m1 - m2)/(1 + m1•m2), mamy m1 = - √3/3, m2 = √3 to
mianownik tego ułamka: (1 + m1•m2) = 1 - (√3/3)•(√3) = 1 - 3/3 = 1 - 1 = 0,
jest to warunek prostopadłości dwóch prostych, więc:
Odpowiedź:
Prosta K jest prostopadła do prostej L: K ⊥ L.
Szczegółowe wyjaśnienie:
A)
K: y = (1/3)x - 3
L; x - 3y = 0 to - 3y = - x /:(- 3) to y = (1/3)x
Obie proste (pogrubione) są postaci kierunkowej, gdzie współczynniki kierunkowe prostych K i L: m = tg α = tangensowi ∢ kąta nachylenia prostej do dodatniego kierunku 0x+: m1 = 1/3 i m2 = 1/3 są równe, więc :
Odpowiedź: proste są do siebie równoległe.
Poza tym: Prosta L przechodzi przez początek układu współrzędnych, 0(0, 0); Prosta K przebiega pod prostą L i przecina oś 0y w punkcie (x, y) = (0, - 3)
B)
K: - 4x + 6y - 1 = 0 to 6y = 4x + 1 /:6 to y = (2/3)x + 1/6
L: x - 2y + 2 = 0 to - 2y = - x - 2 /:(- 2) to y = (1/2)x + 1
Proste K i L przecinają się w punkcie: {(2/3)x + 1/6 = (1/2)x + 1 /•6
to 4x + 1 = 3x + 6 to x = 5, y = 5/2 + 1 = 5/2 + 2/2 = 7/2 = 3½}:
(x, y) = (5, 7/2) = (5, 3½),
Z warunku na tg φ = tg [∢L1, L2] (tangens kąta miedzy dwoma prostymi):
tg φ = ∓ (m1 - m2)/(1 + m1•m2), mamy m1 = 2/3, m2 = 1/2,
tg φ = (2/3 - 1/2)/(1 + (2/3)•1/2) = (4/6 - 3/6)/(1 + 1/3) = (1/6)/(3/3 + 1/3) =
= (1/6)•4/3 = 2/9 = 0,22222 ..., = 0,(2) to
tg φ = 0,2222 ..., to φ = 12º 32'
Odpowiedź:
Proste K i L przecinają się w punkcie: (x, y) = (5, 7/2) = (5, 3½)
pod kątem: tg φ = 0,2222 ..., to φ = 12º 32'
C)
K: x + √3 y - 2√3 = 0 to √3 y = - x + 2√3 /:√3 to y = - (√3/3)x + 2
L: y = (√3)x + 1
Z warunku na tg φ = tg [∢L1, L2] (tangens kąta miedzy dwoma prostymi):
tg φ = ∓ (m1 - m2)/(1 + m1•m2), mamy m1 = - √3/3, m2 = √3 to
mianownik tego ułamka: (1 + m1•m2) = 1 - (√3/3)•(√3) = 1 - 3/3 = 1 - 1 = 0,
jest to warunek prostopadłości dwóch prostych, więc:
Odpowiedź:
Prosta K jest prostopadła do prostej L: K ⊥ L.
