Odpowiedź:
Dana funkcja w danym przedziale jest malejąca.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Niech
[tex]x_1 , x_2\in(1,+\infty)\\x_1Stąd
[tex]x_1-x_2<0\ \ \ (\text{nr 1})\\ x_1x_2>1\\x_1x_2-1>0\ \ \ (\text{nr 2})[/tex]
Zbadajmy znak różnicy:
[tex]f(x_2)-f(x_1)=\frac{3x_2}{x_2^2+1}-\frac{3x_1}{x_1^2+1}=\frac{3x_2(x_1^2+1)-3x_1(x_2^2+1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}=\frac{3x_1^2x_2+3x_2-3x_1x_2^2-3x_1}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}=\\=\frac{3x_1x_2(x_1-x_2)-3(x_1-x_2)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}=\frac{3(x_1-x_2)(x_1x_2-1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}[/tex]
Pierwszy nawias w liczniku jest ujemny z zależności nr 1, a drugi nawias jest dodatni z zależności nr 2, więc cały licznik jest ujemny.
Mianownik z kolei jest dodatni jako iloczyn dwóch liczb dodatnich (kwadrat liczby rzeczywistej powiększony o stałą jest dodatni).
Zatem powyższa różnica jest ujemna.
Stąd wniosek:
Dana funkcja w danym przedziale jest malejąca.
