[tex]\displaystyle\\\binom{10}{4}\cdot4\cdot5!\div 2!-4\cdot\binom{9}{3}\cdot3!-\binom{9}{3}\cdot3\cdot4!\div 2!=\\\\=\dfrac{10!}{4!6!}\cdot4\cdot3\cdot4\cdot5-4\cdot\dfrac{9!}{3!6!}\cdot 3!-\dfrac{9!}{3!6!}\cdot3\cdot3\cdot4=\\\\=\dfrac{7\cdot8\cdot9\cdot10}{2}\cdot4\cdot5-4\cdot7\cdot8\cdot9-\dfrac{7\cdot8\cdot9}{2}\cdot3\cdot4=\\\\=7\cdot4\cdot9\cdot10\cdot20-2016-7\cdot4\cdot9\cdot12=\\\\=50400-2016-3024=\\\\=45360[/tex]
Wybieram 4 różne cyfry z 10 możliwych (kolejność nie ma znaczenia, stąd kombinacje). Dobieram do tych 4 różnych cyfr jedną z nich, żeby mieć w sumie 5 cyfr (jedna musi się powtarzać), na 4 sposoby (bo mam 4 różne cyfry). Mając 5 cyfr, rozmieszczam je na 5 miejscach na 5! sposobów (n elementów na n sposobów, więc permutacje). Dwie cyfry się powtarzają, a takich samych cyfr nie rozróżniamy, więc dzielę wszystko przez liczbę permutacji tych cyfr, czyli 2!.
Ale, liczby nie mogą zaczynać się zerem, więc od tego wszystkiego muszę odjąć ciągi 5-cyfrowe zaczynające się zerem. Weźmy najpierw ciągi, gdzie to cyfra 0 się powtarza. Drugie 0 możemy umieścić na 4 sposoby (bo zostały 4 miejsca). Do tych dwóch zer dobieramy 3 różne liczby z dostępnych 9 (kombinacje). Te 3 różne cyfry umieszczamy na 3 miejscach na 3! sposobów (permutacje).
Teraz bierzemy ciągi zaczynające się zerem, gdzie inna cyfra niż 0 się powtarza. Do tego zera dobieramy 3 różne cyfry z 9. Z tych trzech cyfr dobieramy jedną z nich, żeby mieć w sumie 5 cyfr, na 3 sposoby. Umieszczamy te 4 cyfry na 4! sposobów. Całość dzielę przez 2!, bo nie rozróżniamy takich samych cyfr.
Zadanie można pewnie podejść na kilka sposobów, ale ja zdecydowałem się akurat na taką metodę.
