Odpowiedź :
Odpowiedź:
8. a) Szukana prosta: y = - 2x - 7, m = - 2.
Sprawdzenie: By sprawdzić, czy szukana prosta spełnia warunki zadania, należy współrzędne punktu P(- 3, - 1) podstawić do ostatniego równania: -1 = (- 2)•(- 3) - 7 to - 1 = - 1, to L = P
co należało sprawdzić [gdyby nam wyszło, że L ≠ P, to musimy szukać błędu]
oraz warunek prostopadłości: 1 + m•(1/2) = 0 to 1 + (- 2)•(1/2) = 0, co należało sprawdzić.
b) Szukana prosta y = (2/9)x - 1/3, m = 2/9
c)
Punkt P(-3, -1) i prostopadłej do prostej L: y = - 6 to m1 = 0
Prosta o równaniu y = - 6 jest prostopadła do osi 0y, równoległa do osi 0x, kąt α = 0, m = tg 0 = 0 i przecina oś 0y w punkcie y = - 6.
Szukana prosta jest prostopadła do osi 0x, przechodzi przez punkt P:
P(- 3, -1, więc:
Odpowiedź: Równanie szukanej prostej jest postaci: x = - 3.
[Żadne obliczenia w tym przypadku nie maja zastosowania.]
d)
Szukana prosta jest równoległa do osi 0x, przechodzi przez punk
P(-3, -1), więc: Odpowiedź:
Równanie szukanej prostej jest postaci y = - 1
e) Szukana prosta: y = (- 5/3)x - 6, m = - 5/3
f)
...przechodzącej przez Punkt P(-3, -1) i prostopadłej do prostej
L: x - y = x + y to - 2y = x - x to - 2y = 0 to y = 0
Prosta o równaniu y = 0 przedstawia oś układu współrzędnych 0x.
Szukana do niej prosta prostopadła i przechodząca przez punkt P(-3, -1)
ma równanie x = - 3. Jest to prosta prostopadła do osi 0x.
Odpowiedź: Szukana prosta ma równanie x = - 3
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie prostej w postaci kierunkowej o współczynniku kierunkowym m, ma postać: y = mx + n, [gdzie m = tg α, tangens kąta nachylenia prostej L do dodatniego kierunku osi 0x+].
Jeżeli punkt M(x1, y1) leży na prostej L, więc jego współrzędne spełniają równanie tej prostej,
to y1 = mx1 + n.
Odejmując stronami te równania, otrzymamy równanie prostej przechodzącej przez dany punkt M(x1, y1):
y = mx + n
y1 = mx1 + n
___________
y - y1 = m(x - x1), gdzie n - n = 0, zredukowało się.
Żeby przeprowadzić prostą prostopadłą, to skorzystamy z warunku:
1 + m•m1 = 0, ten warunek wynika ze wzoru na tangens kąta φ między dwoma prostymi, dla tg φ = tg 90º.
8. a)
...przechodzącej przez Punkt P(-3, -1) i prostopadłej do prostej
L: y = (1/2)x - 7 to m1 = 1/2
Prosta przechodząca przez punkt P(x1, y1) = P(- 3, - 1) jest postaci:
y - y1 = m(x - x1) to y - (- 1) = m[(x - (- 3)] to y + 1 = m(x + 3).
Nasz warunek prostej prostopadłej napiszemy w postaci:
1 + m•(1/2) = 0 to m•(1/2) = - 1 to /•2 to m = - 2
Wracamy do naszej prostej y + 1 = m(x + 3) to y + 1 = (- 2)(x + 3) to
y + 1 = - 2x - 6 to Odpowiedź: Szukana prosta: y = - 2x - 7, m = - 2.
Sprawdzenie: By sprawdzić, czy szukana prosta spełnia warunki zadania, należy współrzędne punktu P(- 3, - 1) podstawić do ostatniego równania: -1 = (- 2)•(- 3) - 7 to - 1 = - 1, to L = P
co należało sprawdzić [jakby nam wyszło, że L ≠ P, to musimy szukać błędu]
oraz warunek prostopadłości: 1 + m•(1/2) = 0 to 1 + (- 2)•(1/2) = 0, co należało sprawdzić.
b)
...przechodzącej przez Punkt P(-3, -1) i prostopadłej do prostej
L: y = - 4,5x - 5, to m1 = - 4,5
Prosta przechodząca przez punkt P(x1, y1) = P(- 3, - 1) jest postaci:
y + 1 = m(x + 3), [dla wszystkich przykładów prosta była już wyprowadzona "we wstępie" i w przykładzie a)]
Nasz warunek prostej prostopadłej napiszemy w postaci:
1 + m•(- 4,5) = 0 to m•(- 4,5) = - 1 [- 4,5 = - 45/10 = - 9/2] to
m•(- 9/2) = - 1 /•(- 2/9) to m = 2/9
Wracamy do naszej prostej y + 1 = m(x + 3) to y + 1 = (2/9)(x + 3) to
y + 1 = (2/9)x + 2/3 to y = (2/9)x + 2/3 - 1 = (2/9)x + 2/3 - 3/3 to
y = (2/9)x - 1/3
Odpowiedź: Szukana prosta y = (2/9)x - 1/3, m = 2/9
c)
...przechodzącej przez Punkt P(-3, -1) i prostopadłej do prostej
L: y = - 6 to m1 = 0
Prosta o równaniu y = - 6 jest prostopadła do osi 0y, równoległa do osi 0x, kąt α = 0, m = tg 0 = 0 i przecina oś 0y w punkcie y = - 6.
Szukana prosta jest prostopadła do osi 0x, przechodzi przez punkt P:
P(- 3, -1, więc:
Odpowiedź: Równanie szukanej prostej jest postaci: x = - 3.
[Żadne obliczenia w tym przypadku nie maja zastosowania.]
d)
...przechodzącej przez Punkt P(-3, -1) i prostopadłej do prostej
L: x = 11
Podobnie jak w punkcie c):
[Żadne obliczenia w tym przypadku nie maja zastosowania.]
Szukana prosta jest równoległa do osi 0x, przechodzi przez punk
P(-3, -1), więc: Odpowiedź:
Równanie szukanej prostej jest postaci y = - 1
e)
...przechodzącej przez Punkt P(-3, -1) i prostopadłej do prostej
L: 3x - 5y -1 = 0
Jest to równanie prostej w postaci ogólnej, najpierw sprowadzimy to równanie do postaci kierunkowej, by wyznaczyć współczynnik m, to
3x - 5y -1 = 0 to - 5y = - 3x + 1 /:(- 5) to y = (3/5)x - 1/5 to m1 = 3/5
Prosta przechodząca przez punkt P(x1, y1) = P(- 3, - 1) jest postaci:
y + 1 = m(x + 3), [dla wszystkich przykładów prosta była już wyprowadzona "we wstępie" i w przykładzie a)]
Nasz warunek prostej prostopadłej napiszemy w postaci:
1 + m•(3/5) = 0 to m•3/5) = - 1 /•(5/3) to m = - 5/3
Wracamy do naszej prostej y + 1 = m(x + 3) to y + 1 = (- 5/3)(x + 3) to
y + 1 = (- 5/3)x - 5 to y = (- 5/3)x - 5 - 1 = (- 5/3)x - 6 to
y = (- 5/3)x - 6
Odpowiedź: Szukana prosta y = (- 5/3)x - 6, m = - 5/3
f)
...przechodzącej przez Punkt P(-3, -1) i prostopadłej do prostej
L: x - y = x + y to - 2y = x - x to - 2y = 0 to y = 0
Prosta o równaniu y = 0 przedstawia oś układu współrzędnych 0x.
Szukana do niej prosta prostopadła i przechodząca przez punkt P(-3, -1)
ma równanie x = - 3. Jest to prosta prostopadła do osi 0x.
Odpowiedź: Szukana prosta ma równanie x = - 3