1. Między liczby -2 i 18 wstaw siedem liczb tak, aby tworzyły ciąg arytmetyczny.
2 .Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, jeżeli: a4=7 i r=-5. Oblicz sumę 120 wyrazów tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym każdy następny wyraz powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej różnicy d = r, więc napiszemy kilka wyrazów tego ciągu:

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 3d

a5 = a4 + d = a1 + 4d po tych kilku utworzonych wyrazach możemy już

_________________ napisać wzór ogólny ciągu:

an = a1 + (n-1)d

Jeżeli każdy następny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy d do wyrazu poprzedniego, to różnicę d otrzymamy odejmując od dowolnego wyrazu następnego wyraz poprzedni:

d = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = a5 - a4 = a6 - a5 ..., = a(n + 1) - an to

d = a(n + 1) - an to a(n + 1) = an + d (wzór rekurencyjny).

gdzie a1, a2, ..., an, a(n+1) oznaczają a ze znaczkiem 1, 2, ..., n, (n +1).

1.

a1 = - 2, a9 = a1 + 8d = 18 to - 2 + 8d = 18 to 8d = 20 to

d = 20/8 = 10/4 = 5/2 = 2,5

Sprawdzenie:

Ciąg: -2; 0,5; 3; 5,5; 8; 10,5; 13; 15,5; 18.

jest rozwiązaniem zadania.

2.

a4 = a1 + 3r = 7, r = - 5 to a4 = a1 + 3•(-5) = 7 to a1 = 7 + 15 = 22

Sprawdzenie: a1 = 22, 17, 12, 7 = a4, co nalezało sprawdzić.

Wyraz ogólny: an = 22 + (n - 1)•(-5)

S120 = 120(22 + a120)/2, a120 = 22 + (120 - 1)•(-5) = - 573

Sn = n[2a1 + (n - 1)•r]/2 to

S120 = 120[2•22+ (120 - 1)•(-5)]/2 = 60[44 + 119•(-5)] = - 33060

Sn = n(a1 + an)/2 to S120 = 120(22 - 573)/2 = - 33060

Bartek4877go Bartek4877go · Answer 2

Odpowiedź:

1)
a1 = - 2
a9 = 18

Korzystam ze wzoru na ogólny wyraz ciągu arytmetycznego,
wyznaczam różnicę tego ciągu:
an = a1 + (n - 1) * r
a9= - 2 + (9 - 1) * r
18 = - 2 + 8r
18 + 2 = 8
8r = 20 /8
r = 20/8
r = 2,5

Wyznaczam kolejne wyrazy ciągu:
a1 = - 2
a2 = a1 + r = - 2 + 2,5 = 0,5
a3 = a1 + 2r = - 2 + 2 * 2,5 = - 2 + 5 = 3
a4 = - 2 + 3 * 2,5 = - 2 + 7,5 = 5,5
a5 = a1 + 4r = - 2 + 4 * 2,5 = - 2 + 10 = 8
a6 = a1 + 5r = - 2 + 5 * 2,5 = - 2 + 12,5 = 10,5
a7 = a1 + 6r = - 2 + 6 * 2,5 = - 2+ 15 = 13
a8 = a1 + 7r = - 2 + 7 * 2,5 = - 2 + 17,5 = 15,5
a9 = 18

Odp: między liczby - 2 ,a 18 należy wstawić liczby:
0,5; 3 ; 5,5; 8 ; 10,5; 13; 15,5

2)
a4 = 7
r = - 5

Korzystam ze wzoru na ogólny wyraz ciągu arytmetycznego,
wyznaczam pierwszy wyraz tego ciągu:
an = a1 + (n - 1) * r
a4 = a1 + (4 - 1) * (-5)
7 = a1 + 3 * (-5)
7 = a1 - 15
7 + 15 = a1
a1 = 22

Wyznaczam wzór ogólny tego ciągu:
an = a1 + (n - 1) * r

Podstawiam dane do wzoru:
an = 22 + (n - 1) * (-5)
an = 22 - 5n + 5
an = 27 - 5n

Wyznaczam 120 wyraz ciągu:
a120 = 27 - 5 * 120
a120 = 27 - 600
a120 = - 573

an = a120 = - 573

Korzystam ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
Sn = (a1 + an)/2 * n

Podstawiam dane do wzoru:
S120 = [(22 + (- 573)]/2 * 120 = (22 - 573)/2 * 120 = -551/2 * 120 = - 66120/2 = - 33060

Odp : wzór ogólny tego ciągu to:
an = 27 - 5n
Suma 120 wyrazów tego ciągu wynosi:
S120 = - 33060