Odpowiedź:
8
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^4+4^n+2^{3n+1}}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^4+4^n+2*2^{3n}}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^4+4^n+2*8^{n}}[/tex]Ponieważ
[tex]n^4<8^n[/tex]
oraz
[tex]4^n<8^n[/tex]
więc
[tex]n^4+4^n+2*8^{n}<8^n+8^n+2*8^n=4*8^n[/tex]
Ponadto
[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4*8^{n}}= \lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{4}* \sqrt[n]{8^{n}})=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4}*\lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{8^{n}})=1*8=8[/tex]
Teraz z tw. o 3 ciągach
[tex]\underbrace{\sqrt[n]{8^n}}_{\longrightarrow8}<\underbrace{ \sqrt[n]{n^4+4^n+2*8^{n}}}_{\longrightarrow8}<\underbrace{ \sqrt[n]{4*8^{n}}}_{\longrightarrow8}[/tex]
