👤
Rozwiązane

Miejscami zerowymi funkcji y...

Miejscami Zerowymi Funkcji Y class=

Odpowiedź :

Animaldkgo

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{a=-\dfrac{1}{4},\ b=\dfrac{1}{2}}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego [tex]y=ax^2+bx+c[/tex]:

[tex]y=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]

[tex]x_1,x_2[/tex] - pierwiastki równania [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] (miejsca zerowe funkcji [tex]y[/tex])

Mamy:

[tex]x_1=-2,\ x_2=4[/tex]

Podstawiamy:

[tex]y=a(x-(-2))(x-4)\\y=a(x+2)(x-4)\\y=a(x^2-4x+2x-8)\\y=a(x^2-2x-8)\\y=ax^2-2ax-8a[/tex]

Budujemy równość wielomianów:

[tex]ax^2+bx+2=ax^2-2ax-8a[/tex]

Stąd mamy równości:

[tex]a=a\\b=-2a\\2=-8a[/tex]

Rozwiążmy trzecie równanie:

[tex]-8a=2\qquad|:(-8)\\a=-\dfrac{1}{4}[/tex]

Podstawiamy do równania drugiego:

[tex]b=-2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)\\\\b=\dfrac{1}{2}[/tex]

ZbiorJgo

[tex]f(x)=ax^{2} +bx+2\\\\M_{0} =\{ -2,4\}~~\Rightarrow ~~A=(-2,0),B=(4,0)\\A,B\in f(x)\\\\\left \{ {{a\cdot (-2)^{2} -2b+2=0} \atop {a\cdot 4^{2} +4b+2=0}} \right. \\\\\left \{ {{4a -2b+2=0~~\mid \cdot 2} \atop {16a +4b+2=0}} \right. \\\\\left \{ {{8a-4b=-4} \atop {16a+4b=-2}} \right. ~~\mid +\\\\8a-4b+16a+4b=-4-2\\\\24a=-6 \mid \div 24\\\\a=-\dfrac{1}{4} \\\\4a -2b+2=0~~\land ~~ a=-\dfrac{1}{4}\\\\4\cdot (-\dfrac{1}{4})-2b=-2\\\\-1-2b=-2\\\\-2b=-2+1\\\\-2b=-1 \mid \div (-2)\\\\[/tex]

[tex]b=\dfrac{1}{2}\\\\Wzor~~szukanej~~funkcji~~kwadratowej:\\\\f(x)=-\dfrac{1}{4}x^{2} +\dfrac{1}{2}x+2~~gdzie~~ a=-\dfrac{1}{4}~~oraz ~~b=\dfrac{1}{2}\\\\Sprawdzam:\\\\f(-2)=-\dfrac{1}{4}\cdot (-2)^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot (-2)+2=-1-1+2=0~~\Rightarrow A\in f(x)\\\\f(4)=-\dfrac{1}{4}\cdot 4^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot 4+2=-4+2+2=0~~\Rightarrow B\in f(x)[/tex]

Go Studier: Inne Pytanie