Odpowiedź:
Postać ogólna: y = ax² + bx + c
Postać iloczynowa: y = a(x - x₁)(x - x₂), gdzie:
Δ = b² - 4ac
x₁ = (-b - √Δ)/2a
x₂ = (-b + √Δ)/2a
Postać kanoniczna (wierzchołkowa): y = a(x - p)² + q, gdzie W(p, q) - współrzędne wierzchołka paraboli oraz:
p = -b/2a
q = -Δ/4a
[tex]a)\ y=x^{2}+6x+9\\
y=x^{2}+2*x*3+3^{2}\\
y=(x+3)^{2}
[/tex]
y = (x + 3)² jest to postać zarówno iloczynowa jak i kanoniczna - funkcja ma jedno miejsce zerowe x=-3 dla y=0, czyli punkt P(-3, 0), który jest również wierzchołkiem paraboli.
Do narysowania paraboli potrzeba jeszcze minimum dwóch punktów (najlepiej leżących po przeciwnych stronach współrzędnej p)
P₁ = (-4, y) = (-4, 1)
y = (-4 + 3)² = (-1)² = 1
P₂ = (-2, y) = (-2, 1)
y = (-2+3)² = 1² = 1
[tex]b)\ y=-2x^{2}-4x-9[/tex]
Postać kanoniczna (wierzchołkowa):
[tex]p=\cfrac{4}{-4}=-1\\
\\
q=\cfrac{-(-56)}{-8}=-7\\
\\
y=-2(x+1)^{2}-7\ -\ postac\ kanoniczna\\
\\
\Delata=(-4)^{2}-4*(-2)*(-9)\\
\Delata=16-72=-56
[/tex]
Postać iloczynowa - Δ=-56 < 0 - funkcja nie ma miejsc zerowych, a co za tym idzie nie można zapisać jej w postaci iloczynowej.
Do narysowania paraboli potrzeba jeszcze minimum dwóch punktów (najlepiej leżących po przeciwnych stronach współrzędnej p)
P₁ = (-2, y) = (-2, -9)
y = -2(-2 + 1)² - 7 = -2*1 - 7 = -9
P₂ = (0, y) = (0, -9)
y = -2(0+1)² - 7 = -2*1 - 7 = -9
[tex]c)\ y=x^{2}+2x-8[/tex]
Postać kanoniczna (wierzchołkowa):
[tex]p=\cfrac{-2}{2}=-1\\
\\
q=\cfrac{-36}{4}=-9\\
\\
y=(x+1)^{2}-9\ -\ postac\ kanoniczna\\
\\
\Delta=2^{2}-4*1*(-8)\\
\Delta=4+32\\
\Delta=36
[/tex]
Postać iloczynowa:
[tex]\Delta=36\\
\sqrt{Delta}=6\\
\\
x_{1}=\cfrac{-2-6}{2}=\cfrac{-8}{2}=-4\\
\\
x_{2}=\cfrac{-2+6}{2}=\cfrac{4}{2}=2\\
\\
y=(x+4)(x-2)\ -\ postac\ iloczynowa
[/tex]
Do narysowania paraboli wykorzystuję wyznaczone punkty:
- wierzchołek: W(-1, -9)
- miejsca zerowe: P₁(-4, 0) i P₂(2, 0)
Szczegółowe wyjaśnienie:
