Odpowiedź :
Odpowiedź:
To są zadania z pierwszej klasy, poziom podstawowy (autor Kurczab i spółka)
2.48
W tym zadaniu korzystamy z dwóch wzorów skróconego mnożenia:
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
a)
12²
stosujemy wzór skróconego mnożenia (a+b)²=a²+2ab+b²
rozbijamy 12 na (10+2) więc 10 to jest twoje a, a 2 to b
12²=(10+2)²=10²+(2·10·2)+2²=100+40+4=144
b)
21²
stosujemy wzór skróconego mnożenia (a+b)²=a²+2ab+b²
rozbijamy 21 na (20+1) więc 20 to jest twoje a, a 1 to b
21²=(20+1)²=20²+(2·20·1)+1²=400+40+1=441
c)
19²
stosujemy wzór skróconego mnożenia (a-b)²=a²-2ab+b²
rozbijamy 19 na (20-1) więc 20 to jest twoje a, a 1 to b
19²=(20-1)²=20²-(2·20·1)+1²=400-40+1=361
d)
18²
stosujemy wzór skróconego mnożenia (a-b)²=a²-2ab+b²
rozbijamy 18 na (20-2) więc 20 to jest twoje a, a 2 to b
18²=(20-2)²=20²-(2·20·2)+1²=400-80+4=324
e)
32²
stosujemy wzór skróconego mnożenia (a+b)²=a²+2ab+b²
rozbijamy 32 na (30+2) więc 30 to jest twoje a, a 2 to b
32²=(30+2)²=30²+(2·30·2)+2²=900+120+4=1024
f)
98²
stosujemy wzór skróconego mnożenia (a-b)²=a²-2ab+b²
rozbijamy 98 na (100-2) więc 100 to jest twoje a, a 2 to b
98²=(100-2)²=100²-(2·100·2)+2²=10000-400+4=9604
g)
101²
stosujemy wzór skróconego mnożenia (a+b)²=a²+2ab+b²
rozbijamy 101 na (100+1) więc 100 to jest twoje a, a 1 to b
101²=(100+1)²=100²+(2·100·1)+1²=10000+200+1=10201
h)
49²
stosujemy wzór skróconego mnożenia (a-b)²=a²-2ab+b²
rozbijamy 49 na (50-1) więc 50 to jest twoje a, a 1 to b
49²=(50-1)²=50²-(2·50·1)+1²=2500-100+1=2401
Zadanie 2.49
W tym zadaniu korzystamy z tego wzoru skróconego mnożenia:
a²-b²=(a+b)(a-b) albo, korzystając z prawo przemienności mnożenia:
a²-b²=(a-b)(a+b)
prawo przemienności mnożenia mówi, że zmieniając kolejność czynników, nie zmieniamy wyniku mnożenia czyli (a+b)(a-b) to to samo co (a-b)(a+b)
w tym przykładzie możesz też odwrócić kolejność w równaniach:
a²-b²=(a+b)(a-b) to to samo co (a+b)(a-b)= a²-b² albo (a-b)(a+b)=a²-b²
a)
stosujemy wzór (a+b)(a-b)= a²-b²
101·99=(100+1)·(100-1)=100²-1²=10000-1=9999
b)
stosujemy wzór (a-b)(a+b)=a²-b²
28·32=(30-2)·(30+2)=30²-2²=900-4=896
c)
stosujemy wzór (a-b)(a+b)=a²-b²
47·53=(50-3)·(50+3)=50²-3²=2500-9=2491
d)
stosujemy wzór (a+b)(a-b)= a²-b²
71·69=(70+1)·(70-1)=70²-1²=4900-1=4889
e)
stosujemy wzór (a-b)(a+b)=a²-b²
198·202=(200-2)·(200+2)=200²-2²=40000-4=39996
f)
stosujemy wzór (a+b)(a-b)= a²-b²
504·496=(500+4)·(500-4)=500²-4²=250000-16=249984
g)
stosujemy wzór (a+b)(a-b)= a²-b²
1003·997=(1000+3)·(1000-3)=1000²-3²=1000000-9=999991
h)
stosujemy wzór (a-b)(a+b)=a²-b²
580·620=(600-20)·(600+20)=600²-20²=360000-400=359600
Zadanie 2.50
W tym zadaniu korzystamy ze wszytkich trzech wzorów:
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
a²-b²=(a+b)(a-b) czyli (a+b)(a-b)= a²-b² albo (a-b)(a+b)=a²-b²
a)
29²+(40-1)·(40+1)=(30-1)²+40²-1²=30²-(2·30·1)+1²+40²-1²=900-60+1+1600-1=2440
b)
34²-(10+3)·(10-3)=(30+4)²-(10²-3²)=30²-(2·30·1)+1²+40²-1²=900-60+1+1600-1=2440
c)
(20-7)·(20+7)+24²=20²-7²+(20+4)²=20²-7²+20²+(2·20·4)+4²=400-49+400+160+16=927
d)
(30-6)·(30+6)-23²=30²-6²-(20+3)²= 30²-6²-((20+(2·3·2)+3²)=900-36-(400+120+9)=900-36-400-120-9=335
e)
101²-99²=(100+1)²-(100-1)²=[100²+(2·100·1)+1²]-[100²-(2·100·1)+ 1²]=[10000+200+1]-[10000-200+1]=10000+200+1-10000+200-1=400
f)
202²-203²=(200+2)²-(200-3)²=[200²+(2·200·2)+2²]-[200²+(2·200·3)+3²]=200²+800+4-200²-1200-9=-405
g)
55²+45²=(50+5)²+(40+5)²=50²+(2·50·5)+5²+40²+(2·40·5)+ 5²=2500+500+25+1600+400+25=5050
h)
58²+62²=(60-2)²+(60+2)²=60²-(2·60·2)+2²+60²+(2·60·2)+2²=3600-240+4+3600+240+4=7200+4+4=7208
Szczegółowe wyjaśnienie:
2.48.
[tex](a+b)^{2} = a^2 + 2ab + b^{2}, \ \ \ \ (a-b)^{2} = a^{2}-2ab + b^{2}[/tex]
[tex]a) \ 12^{2} = (10+2)^{2} = 10^{2}+2\cdot10\cdot2 + 2^{2} = 100 + 40 + 4 = 144\\\\b) \ 21^{2} = (20+1)^{2} = 400+40+1 = 441\\\\c) \ 19^{2} = (20-1)^{2} = 20^{2}-2\cdot20+1^{2} = 400-40+1 = 361\\\\d) \ 18^{2} = (20-2)^{2} = 400-80+4 = 324\\\\e) \ 32^{2} = (30+2)^{2} = 900+120+4 = 1024\\\\f) \ 98^{2} = (100-2)^{2} = 10000-400 +4 = 9604\\\\g) \ 101^{2} = (100+1)^{2} = 10000+200+1 = 10201\\\\h) \ 49^{2} = (50-1)^{2} = 2500-100+1 = 2401[/tex]
2.49.
[tex](a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}[/tex]
[tex]a) \ 101\cdot99 = (100+1)(100-1) = 100^{2}-1^{2} = 10000-1 = 9999\\\\b) \ 28\cdot32 = (30-2)(30+2) = 900-4 = 896\\\\c) \ 47\cdot53 = (50-3)(50+3) = 2500-9 = 2491\\\\d) \ 71\cdot69 = (70+1)(70-1) = 4900-1 = 4899\\\\e) \ 198\cdot202 = (200-2)(200+2) = 40000-4 = 39996\\\\f) \ 504\cdot496 = (500+4)(500-4) = 250000-16 = 249984\\\\g) \ 1003\cdot997 = (1000+3)(1000-3) = 1000000-9 = 999991\\\\h) \ 580\cdot620 = (600-20)(600+20) = 360000-400 =359600[/tex]
2.50.
[tex]a) \ 29^{2}+(40-1)(40+1)=(30-1)^{2}+1600-1 = 900-60+1+1599 = 2440\\\\\\b) \ 34^{2}-(10+3)(10-3) = (30+4)^{2}-(100-9) = 900+240+16-91 = 1065\\\\\\c) \ (20-7)(20+7)+24^{2} = 400-49+(20+4)^{2} = 351+400+160+16 = 927\\\\\\d) \ (30-6)(30+6)-23^{2} = 900-36-(20+3)^{2} = 864-(400+120+9) =\\\\= 864-529 = 335[/tex]
[tex]e) \ 101^{2}-99^{2} =(101-99)(101+99) = 2\cdot200 = 400\\\\\\f) \ 202^{2}-203^{2} = (202-203)(202+203) = -1\cdot405 = -405\\\\\\g) \ 55^{2}+45^{2} = (50+5)(50-5) = 2500+2\cdot50\cdot5 + 25 + 2500-2\cdot50\cdot5+25 =\\\\=5000+50 = 5050\\\\\\h) \ 58^{2}+62^{2} = (60-2)^{2}+(60+2)^{2} =3600-240+4 + 3600+240+4 =\\\\=7200+8 = 7208[/tex]