Dany jest okrąg [tex]x^2+y^2=25[/tex], więc [tex]S=(0,0)[/tex] i [tex]r=5[/tex].
Znajdźmy punkty przecięcia prostej i okręgu.
[tex]7x-y+25=0\\
y=7x+25\\
x^2+(7x+25)^2=25\\
x^2+49x^2+2*7*25x+625=25\\
50x^2+350x+600=0|:50\\
x^2+7x+12=0\\
\Delta=7^2-4*1*12=49-48=1\\
\sqrt{\Delta}=1\\
x_1=\frac{-7-1}{2}=-4\\
x_2=\frac{-7+1}{2}=-3\\
\left \{ {{x_1=-4} \atop {y_1=-3}} \right. \\
\left \{ {{x_2=-3} \atop {y_2=4}} \right. [/tex]
Zatem punkty przecięcia prostej i okręgu to
[tex]A=(-4,-3)[/tex], [tex]B=(-3,4)[/tex]
Środek okręgu opisanego na prostokącie jest jednocześnie punktem przecięcia przekątnych prostokąta. Sprawdźmy, czy trójkąt ASB jest trójkątem prostokątnym.
[tex]|AS|=r=5\\
|BS|=r=5\\
|AB|=\sqrt{(-3+4)^2+(4+3)^2}=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\\
|AS|^2+|BS|^2=|AB|^2\\
5^2+5^2=(5\sqrt{2})^2\\
25+25=50\\
50=50[/tex]
Zatem trójkąt ASB jest prostokątny, więc kąt między przekątnymi prostokąta jest prosty. Stąd prostokąt ten jest kwadratem, co kończy dowód.
