Odpowiedź:
Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta. W związku z tym wystarczy obliczyć punkt przecięcia dwóch symetralnych , aby znaleźć współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie.
A = ( - 6 , - 5 ) , B =( 6 , 3 ) , C = (- 6 , 9 )
xa = - 6 , xb = 6 , xc = - 6 , ya = - 5 , yb = 3 , yc = 9
Obliczamy punkty środkowe boków IABI i IBCI
D - punkt środkowy boku IABI
xd = (xa + xb)/2 = ( - 6 + 6)/2 = 0/2 = 0
yd = (ya +yb)/2 = (3 - 5)/2 = - 2/2 = - 1
D = (0 , - 1 )
Obliczamy punkt środkowy boku IBCI
E - punkt środkowy boku IBCI
xd = (xb + xc)/2 = ( 6 - 6)/2 =0/2 = 0
yd = (yb +yc)/2 = (9 + 3)/2 = 12/2 = 6
E = ( 0 , 6 )
Symetralna boku trójkąta jest to prosta prostopadła do danego boku i przechodząca przez jego środek
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez
punty A i B
a₁ - współczynnik kierunkowy = (yb - ya)/(xb - xa) = (3 + 5)/(6 + 6) = 8/12 =
= 2/3
a₂ - współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej
a₁ * a₂ = - 1 warunek prostopadłości prostych
a₂ = - 1 : a₁ = - 1 : 2/3 = - 1 * 3/2 = - 3/2
Obliczamy symetralną boku IABI
y = a₂x + b₂ = ( - 3/2)x + b₂ ; D = ( 0 , - 1 )
- 1 = - 3/2 * 0 + b₂
- 1 = 0 + b₂
b₂ = - 1
y = (- 3/2)x - 1
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez
punty B i C
a₁ = (yc - yb)/(xc - xb) = ( 9 - 3)/(- 6 - 6) = 6/(- 12) = - 6/12 = - 1/2
a₁ * a₂ = - 1
a₂ = - 1 : a₁ = - 1 : - 1/2 = 1 * 2 = 2
y = a₂x + b₂ = 2x + b₂ , E = ( 0 , 6 )
6 = 2 * 0 + b₂
6 = 0 + b₂
b₂ = 6
y = 2x + 6
Obliczamy współrzędne punku przecięcia symetralnych
układ równań
y = - 3/2x - 1
y = 2x + 6
- 3/2x - 1 = 2x + 6 | * 2
- 3x - 2 = 4x + 12
- 3x - 4x = 12 + 2
- 7x = 14
7x = - 14
x = - 14/7 = - 2
y = 2x + 6 = 2 * (- 2) + 6 = - 4 + 6 = 2
O - środek okręgu opisanego = ( - 2 , 2 )
Obliczamy promień okręgu opisanego
A = ( - 6 , - 5 ) , O = ( - 2 , 2 )
xa = - 6 , xo = - 2 , ya = - 5 , yo = 2
IAOI = √[(xo - xa)² + (yo - ya)²] = √[(- 2 + 6)² + (2 + 5)²] = √(4² + 7²) =
= √(16 + 49) = √65
Wyznaczamy równanie okręgu opisanego na trójkącie
O = ( - 2 , 2 ) , r = √65
(x - xo)² + (y - yo)² = r²
(x + 2)² + (y - 2)² = 65
