Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]f(x)+2x^{2}e^{-x}[/tex]
Dziedzina:
[tex]x \in \mathbb{R}[/tex]
Miejsca zerowe:
[tex]f(x)=0 \iff 2x^{2}e^{-x}=0 \iff x=0[/tex]
Punkt przecięcia z osią [tex]OY[/tex]:
[tex]f'(0)=0 \Rightarrow P=(0,0)[/tex]
Granice i asymptoty:
[tex]$ \lim_{x \to -\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} 2x^{2}e^{-x}=\infty[/tex]
[tex]$\lim_{x \to \infty}f(x)=\lim_{x \to \infty} 2x^{2}e^{-x}=\lim_{x \to \infty} \frac{2x^{2}}{e^{x}}[/tex]
Korzystając z reguły de'l Hospitala mamy:
[tex]$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^{2}}{e^{x}}=\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{e^{x}}=\lim_{x \to \infty} \frac{4}{e^{x}} =0[/tex]
Zatem prosta [tex]y=0[/tex] jest asymptotą poziomą wykresu funkcji [tex]f[/tex] w [tex]\infty[/tex].
Pochodna:
[tex]f'(x)=4x e^{-x}-2x^{2}e^{-x}=2xe^{-x}(2-x)[/tex]
Funkcja jest rosnąca, gdy [tex]f'(x)>0[/tex]:
[tex]2xe^{-x}(2-x)>0 \iff x(2-x)>0 \iff x \in (0,2)[/tex]
Funkcja jest malejąca, gdy [tex]f'(x)<0[/tex] :
[tex]2xe^{-x}(2-x)<0 \iff x(2-x)<0 \iff x \in (-\infty,0) \cup (2,\infty)[/tex]
Monotoniczność:
Funkcja [tex]f[/tex] jest malejąca w przedziale [tex](\infty,0)[/tex] oraz w przedziale [tex](2,\infty)[/tex].
Funkcja [tex]f[/tex] jest rosnąca w przedziale [tex](0,2)[/tex].
Ekstrema:
[tex]f'(x)=0 \iff x=0 \vee x=2[/tex]
Z powyższych rozważań wynika, że:
Funkcja [tex]f[/tex] osiąga minimum lokalne dla [tex]x=0[/tex] równe [tex]0[/tex].
Funkcja [tex]f[/tex] osiąga maksimum lokalne dla [tex]x=2[/tex] równe [tex]$\frac{8}{e^{2}}[/tex].
