Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{P_c=4+8\sqrt2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Druga siatka przedstawia siatkę ostrosłupa. Pierwsza nie może być, ponieważ ramiona "ścian bocznych" są zbyt krótkie.
Przekątna kwadratu o boku [tex]a[/tex]:
[tex]d=a\sqrt2[/tex]
Podstawiamy [tex]a=5[/tex]
[tex]d=5\sqrt2\approx7,07[/tex]
a suma dwóch "krawędzi bocznych" wynosi [tex]3+3=6[/tex]. Co jest mniejsze niż długość przekątnej podstawy.
Pole powierzchni ostrosłupa:
[tex]P_c=P_p+P_b[/tex]
[tex]P_p[/tex] - pole podstawy
[tex]P_b[/tex] - pole powierzchni bocznej
W podstawie mamy kwadrat. Zatem:
[tex]P_p=2^2=4[/tex]
Powierzchnia boczna składa się z czterech przystających trójkątów równoramiennych. Do pola trójkąta potrzeba nam długość jego wysokości lub stosujemy wzór Herona:
[tex]P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
[tex]a,\ b,\ c[/tex] - długości boków trójkąta
[tex]p=\dfrac{a+b+c}{2}[/tex] - połowa obwodu
Wysokość trójkąta obliczymy stosując twierdzenie Pitagorasa.
[tex]h^2+1^2=3^2\\\\h^2+1=9\qquad|-1\\\\h^2=8\to h=\sqrt8\\\\h=\sqrt{4\cdot2}\\\\h=2\sqrt2[/tex]
Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:
[tex]P_\triangle=\dfrac{a\cdot h}{2}[/tex]
[tex]a[/tex] - długość podstawy trójkąta
[tex]h[/tex] - długość wysokości trójkąta opuszczona na bok [tex]a[/tex]
Powierzchnia boczna składa się z czterech takich trójkątów. W związku z tym:
[tex]P_b=4\cdot\dfrac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h[/tex]
Podstawiamy:
[tex]P_b=2\cdot2\cdot2\sqrt2=8\sqrt2[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_c=4+8\sqrt2[/tex]
