Odpowiedź :
1.
[tex]\frac{5^8*\sqrt{125}}{25^3}=\frac{5^8*125^{\frac12}}{(5^2)^3}=\frac{5^8*(5^3)^{\frac12}}{5^6}=(5^8*5^{\frac32}):5^6=5^{8\frac32}:5^6=5^{2\frac32}=5^{3\frac12}[/tex]
2.
a)
[tex]2log_56 - 3log_54=log_536-log_564=log_5(\frac{36}{64})=log_5\frac9{16}[/tex]
b)
[tex]log_210+2log_25-3log_23=log_210+log_225-log_227=log_2(10*25)-log_227-log_2\frac{250}{27}[/tex]
3.
[tex]A(4; -1)\\B(2, 4)\\\left \{ {{-1=4a+b/*(-1)} \atop {4=2a+b}} \right. \\+\left \{ {{1=-4a-b} \atop {4=2a+b}} \right. \\1+4=-4a+2a\\5=-2a /:(-2)\\-\frac52=a\\\\-1=4*(-\frac52)+b\\-1=2*(-5)+b\\-1=-10+b /+10\\9=b\\\\\\\text{Postac kierunkowa: }y=-\frac52x+9\\\text{Postac ogolna: }\\y=-\frac52x+9 /*2\\2y=-5x+18\\5x+2y-18=0[/tex]
4.
[tex]\text{Wzor ogolny okregu:}\\(x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex]
Przeksztalcamy wzor okregu do postaci ogolnej zeby odczytac wspolrzedne srodka okregu i jego promien
[tex]x^2+y^2-6x=0 => (x-3)^2+y^2-9=0 => (x-3)^2+(y-0)^2=9\\O = (3, 0)\\r^2=9\\r=3[/tex]
Obliczamy odleglosc punktu O od prostej k: [tex]x-y+9=0[/tex]
[tex]d_{O, k} = \frac{|1*3+(-1)*0+9|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|3+0+9|}{\sqrt2}=\frac{|12|}{\sqrt2}=\frac{12\sqrt2}2=6\sqrt2[/tex]
[tex]6\sqrt2 > 3\\d_{O, k} > r[/tex]
Prosta i okrąg nie przecinają się.
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
1.
[tex]\frac{5^8*\sqrt{125} }{25^3} =\frac{5^8*125^{\frac{1}{2} }}{(5^2)^3} =\frac{5^8*(5^3)^\frac{1}{2} }{5^6} =\frac{5^8*5^{\frac{3}{2} }}{5^6} =\frac{5^{9\frac{1}{2}} }{5^6} =5^{3\frac{1}{2} }[/tex]
2.
a.
[tex]2log_56-3log_54=log_56^2-log_54^3=log_5\frac{6^2}{4^3} =log_5\frac{36}{64} =log_5\frac{9}{16}[/tex]
b.
[tex]log_210+2log_25-3log_23=log_210+log_25^2-log_23^3=log_2(\frac{10*25}{27} )=log_210\frac{7}{27}[/tex]
3.
równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty ma postać:
[tex](y-y_1)=\frac{(x-x_1)}{(x_2-x_1)} (y_2-y_1)[/tex]
dla A(4, -1) i B(2, 4) mamy
[tex]y-(-1)=\frac{(x-4)}{(1-4)}(4-(-1)) \\y+2=\frac{(x-4)}{-3}(4+1)\\y+2= (-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3})*5\\y=-\frac{5}{3}x+\frac{20}{3}-2\\y=-\frac{5}{3}x+\frac{14}{3}[/tex]
Równanie ogólne prostej ma postać Ax+By+C=0 więc
[tex]\frac{5}{3}x+y-\frac{14}{3}=0[/tex]
Równanie kierunkowe prostej ma postać y=ax+b
co wyznaczyliśmy już wyżej.
4.
Równanie okręgu ma postać : [tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex] gdzie S(a, b) to jego środek a r to promień
[tex]x^2+y^2-6x=0\\x^2-6x+9-9+y^2=0\\(x-3)^2+(y-0)^2=9\\[/tex]
Okręg ośrodku w punkcie S(3, 0) i promieniu r=3
Nasza prosta podana jest już w postaci ogólnej Ax+By+C=0 : x-y+9=0
Wyznaczamy odległość S od prostej :
[tex]d=\frac{|A*a+B*b+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} =\frac{|1*3+(-1)*0+9|}{\sqrt{1^2+(-1)^2} }=\frac{12}{\sqrt{2} } =6\sqrt{2}[/tex]
Odległość środka S od prostej wynosi 6√2 jest większa od promienia okręgu r=3 więc okręg i prosta nie mają punktów wspólnych.