Odpowiedź:
Mamy nierówność [tex]9-3x+\frac{1}{4}x^2<0[/tex]
Teza: nie istnieje [tex]x\in\mathbb{R}[/tex] taki, że [tex]9-3x+\frac{1}{4}x^2<0[/tex]
Uporządkujmy sobie naszą nierówność. Mamy
[tex]\frac{1}{4}x^2-3x+9<0[/tex]
Po lewej stronie mamy pewien trójmian kwadratowy. Obliczmy jego deltę, aby znaleźć miejsca zerowe i móc go zapisać w postaci iloczynowej.
[tex]\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot\frac{1}{4}\cdot9=9-9=0[/tex]
Zatem mamy jedno miejsce zerowe: [tex]x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-3)}{2\cdot\frac{1}{4}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=3\cdot2=6[/tex]
Stąd możemy przekształcić lewą stronę nierówności do postaci iloczynowej, uzyskując
[tex]\frac{1}{4}(x-6)^2<0[/tex]
Zauważmy, co następuje:
[tex]\underbrace{\underbrace{\frac{1}{4}}_{>0}\underbrace{\left(x-6\right)^2}_{\geq0}}_{\geq0}\nless0[/tex]
[Wyjaśnienie: [tex]\frac{1}{4}>0[/tex] - to oczywiste. Jeśli chodzi o wyrażenie w nawiasie, to jest ono podniesione do kwadratu, a zatem będzie zawsze większe lub równe 0 - nie da się uzyskać liczby rzeczywistej, która byłaby ujemna po podniesieniu do kwadratu. Patrząc zatem na całą lewą stronę, mamy mnożenie liczby dodatniej przez liczbę nieujemną, zatem wynik tego działania będzie zawsze nieujemny. Zatem nierówność jest sprzeczna.]
Zatem nierówność jest nieprawdziwa. Nie istnieje [tex]x\in\mathbb{R}[/tex] spełniający tę nierówność, co kończy dowód.
