Odpowiedź :
Odpowiedź:
Mamy zasadniczo trzy postacie, w jakich możemy przedstawić funkcję kwadratową:
1. postać ogólna: [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]
2. postać kanoniczna: [tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex], gdzie a to współczynnik stojący przed x² w postaci ogólnej, a p i q to współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji (wierzchołek [tex]W=(p,q)[/tex])
3. postać iloczynowa: [tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], gdzie a - jak wyżej, natomiast x₁ i x₂ to miejsca zerowe funkcji.
W naszym zadaniu mamy postać kanoniczną i chcemy dojść do iloczynowej. Najprościej będzie to zrobić, przechodząc przez postać ogólną. Mamy
[tex]f(x)=2(x-1)^2-2=2(x^2-2x+1)-2=2x^2-4x+2-2\\f(x)=2x^2-4x[/tex]
Osiągnęliśmy postać ogólną funkcji f (po prostu pozbywając się nawiasu: rozwinęliśmy wyrażenie w nawiasie podniesione do kwadratu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, potem wymnożyliśmy wyrazy w nawiasie przez 2 stojące przed nawiasem i na koniec uprościliśmy to, co się redukowało).
Ponieważ do zapisania funkcji w postaci iloczynowej potrzebujemy znać jej miejsca zerowe, obliczmy je teraz. Z postaci ogólnej skorzystamy, żeby obliczyć potrzebną nam deltę.
Mamy [tex]f(x)=2x^2-4x[/tex]. Widzimy, że [tex]a=2,\,b=-4,\,c=0[/tex] (bo nie ma wyrazu bez x - samej liczby). Stąd
[tex]\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot0=16-0=16>0[/tex]
Obliczyliśmy [tex]\Delta=16\Rightarrow\sqrt\Delta=4[/tex]. Teraz obliczmy miejsca zerowe funkcji f:
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-(-4)-4}{2\cdot2}=\frac{4-4}{4}=\frac{0}{4}=0[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-(-4)+4}{2\cdot2}=\frac{4+4}{4}=\frac{8}{4}=2[/tex]
Pamiętając, że [tex]a=2[/tex], podstawmy wyznaczone wartości do wzoru na postać iloczynową:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=2(x-0)(x-2)=2x(x-2)[/tex]
W ten sposób dotarliśmy do postaci iloczynowej funkcji f.