Jak już zapisałeś/aś na podstawie podanego w poleceniu punktu [tex](-1, \frac{1}{4})[/tex] można obliczyć, że [tex]a = 4[/tex]. Teraz wiemy, że wzór funkcji [tex]f[/tex] wygląda następująco:
[tex]f(x) = 4^{x}[/tex]
Jak będzie wyglądała taka funkcja jeżeli przesuniemy ją o 3 jednostki w górę wzdłuż osi OY?
Należy zwrócić szczególną uwagę, że mówimy o przesunięciu góra-dół, wzdłuż osi OY, czyli zmienią się wartości y-ów. Można ten nowy zapis funkcji wywnioskować na podstawie prostego przykładu.
Obliczmy [tex]f(x)[/tex] dla [tex]x = 0[/tex].
[tex]f(x) = 4^{x}[/tex]
[tex]f(0) = 4^{0}[/tex]
[tex]f(0) = 1[/tex]
[tex]f(x) = y[/tex]
[tex]y = 1[/tex]
Obliczyliśmy właśnie jeden z punktów funkcji [tex]f(x) = 4^{x}[/tex], który wynosi [tex](0, 1)[/tex].
Jak on będzie wyglądał, jeżeli przesuniemy go o 3 jednostki w górę (zwiększymy y o 3)?
[tex](0, 1 + 3) = (0, 4)[/tex]
Możemy zauważyć, że zwiększyliśmy wartość [tex]f(x)[/tex] o 3, więc nowy wzór funkcji, którą mamy oznaczyć według polecenia funkcją g będzie wyglądał następująco:
[tex]g(x) = 4^{x} + 3[/tex]
Sprawdźmy, czy obliczony wcześniej punkt funkcji f, który przesunęliśmy o 3 wyjdzie z tej funkcji. Sprawdźmy zatem jaki będzie wartość dla [tex]x = 0[/tex]
[tex]g(0) = 4^{0} + 3\\g(0) = 1 + 3\\g(0) = 4[/tex]
Przesunięcie funkcji to jest nic innego jak przesunięcie każdego jej punktu o określoną ilość w wybranym kierunku. Omówiłem tylko taką sytuację dla przesunięcia góra-dół, wzdłuż osi OY.
Teraz zbiór wartości i monotoniczność tej nowej funkcji.
Zbiorem wartości nazywamy zbiór y-ów.
Dla każdej takiej zwykłej funkcji wykładniczej, jak [tex]f(x) = a^{x}[/tex] zbiór wartości wygląda następująca:
ZW = (0; +∞)
Ze względu na to, że przesunęliśmy tę funkcję [tex]f(x) = 4^{x}[/tex] o 3 w górę i otrzymaliśmy [tex]g(x) = 4^{x} + 3[/tex]. Zbiór wartości będzie wyglądał teraz tak:
ZW = (3; +∞)
Jeżeli chodzi o monotoniczność. Ze względu na to, że a > 1 funkcja wykładnicza jest rosnąca, rośnie cały czas w przedziale swojej dziedziny. Czyli funkcja rośnie w przedziale liczb rzeczywistych i nigdy nie maleje.
f↑: (-∞; +∞)
f↓: ∅
Mam nadzieję, że pomogłem liczę na najlepszą odpowiedź, pozdrawiam ;)