Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
Niech:
a - oznacza krawędź składowego kwadratu (jednego z czterech)
podstawa szarego trójkąta jest przekątną składowego kwadratu, zatem wynosi:
[tex]a\sqrt2[/tex]
Brakuje nam wysokości tego trójkąta.
Jak widzimy na rysunku wysokość tego trójkąta mieści się w przekątnej dużego kwadratu i wynosi dokładnie jego połowę.
Zatem przekątna dużego kwadratu (składającego się z czterech kwadratów wynosi:
[tex]d=2a\sqrt2\\\\d=2\sqrt2a[/tex]
Zatem wysokość (h) naszego trójkąta wynosi:
[tex]h=\dfrac{d}{2}\\\\h=\dfrac{2\sqrt2a}{2}=\sqrt2a[/tex]
Wówczas:
Pole kwadratu składowego:
[tex]P=a^2[/tex]
Pole szarego trójkąta:
[tex]P_\Delta=\dfrac12\cdot a\sqrt2\cdot h\\\\P_\Delta=\dfrac12a\sqrt2\cdot a\sqrt2=\dfrac12a^2\cdot 2=a^2[/tex]
Co należało uzasadnić.
