Wykres ma asymptotę pionową, gdy:
[tex]\lim\limits_{x\to x_0^{\pm}}f(x)=\pm\infty[/tex]
Jeżeli punkt x0 należy do dziedziny funkcji, to granica jest wartością funkcji w tym punkcie (czyli nie jest równa nieskończoność). Zatem należy badać granicę w punktach nienależących do dziedziny -- w naszym wypadku jest to x=0. Mamy:
[tex]\lim\limits_{x\to0^{+}}\dfrac{3x^2+1}{x}=\Big[\dfrac{1}{0^+}\Big]=+\infty[/tex]
W liczniku wstawiamy 0 zamiast x. W mianowniku zauważamy, że funkcja y=x przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów leżących po prawej od 0 -- stąd mamy 0 z plusem. Iloraz liczby dodatniej przez 0 z plusem to nieskończoność. Podobnie:
[tex]\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{3x^2+1}{x}=\Big[\dfrac{1}{0^-}\Big]=-\infty[/tex]
W obu przypadkach uzyskaliśmy nieskończoność, więc jest to asymptota pionowa obustronna o równaniu:
[tex]\boxed{x=0}[/tex]
W celu znalezienia asymptoty ukośnej liczymy granicę:
[tex]a=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2}=3[/tex]
Granica ilorazu dwóch wielomianów tego samego stopnia to iloraz współczynników przy najwyższej potędze zmiennej (3/1). Jest to współczynnik kierunkowy szukanej asymptoty. Liczymy wyraz wolny:
[tex]b=\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x\to+\infty}\Big[\dfrac{3x^2+1}{x}-3x\Big]=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0[/tex]
Jeżeli stopień wielomianu w mianowniku jest wyższy, niż w liczniku, to granica jest równa 0. Jest to asymptota obustronna (ponieważ licząc granice w minus nieskończoności otrzymalibyśmy to samo) o równaniu:
[tex]\boxed{y=3x}[/tex]
W załączniku znajduje się wykres tej funkcji z zaznaczonymi asymptotami.
