Przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:
[tex]3x-2y-1=0\\\\2y=3x-1\\\\y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}[/tex]
Dłuższa przekątna ma długość:
[tex]2\cdot2\sqrt{13}=4\sqrt{13}[/tex]
Zatem połowa długości tej przekątnej to:
[tex]\dfrac{4\sqrt{13}}{2}=2\sqrt{13}[/tex]
Punkty na prostej są postaci:
[tex]\Big(x,\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}\Big)[/tex]
Liczymy odległość takiego punktu od punktu (5,7):
[tex]\sqrt{(x-5)^2+\Big(\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}-7\Big)^2}=\sqrt{(x-5)^2+\Big(\dfrac{3}{2}x-\dfrac{15}{2}\Big)^2}=\\\\\\=\sqrt{x^2-10x+25+\dfrac{9}{4}x^2-\dfrac{45}{2}x+\dfrac{225}{4}}=\sqrt{\dfrac{13}{4}x^2-\dfrac{65}{2}x+\dfrac{325}{4}}[/tex]
Odległość ta powinna być równa:
[tex]\sqrt{\dfrac{13}{4}x^2-\dfrac{65}{2}x+\dfrac{325}{4}}=2\sqrt{13}\\\\\\\dfrac{13}{4}x^2-\dfrac{65}{2}x+\dfrac{325}{4}=52\\\\\\13x^2-130x+325=208\\\\13x^2-130x+117=0\\\\x^2-10x+9=0\\\\\Delta=(-10)^2-4\cdot1\cdot9=100-36=64\\\\\sqrt{\Delta}=8\\\\x_1=\dfrac{10-8}{2}=1\\\\x_2=\dfrac{10+8}{2}}=9[/tex]
Stąd mamy dwa wierzchołki tego rombu:
[tex]\boxed{A=(1,1)}\\\\\boxed{C=(9,13)}[/tex]
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do podanej:
[tex]a\cdot\dfrac{3}{2}=-1\\\\a=-\dfrac{2}{3}[/tex]
Równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez podany środek symetrii rombu:
[tex]y=ax+b\\\\7=-\dfrac{2}{3}\cdot5+b\\\\7=-\dfrac{10}{3}+b\\\\b=\dfrac{31}{3}\\\\y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{31}{3}[/tex]
Punkty na prostej są postaci:
[tex]\Big(x,-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{31}{3}\Big)[/tex]
Odległość takiego punktu od punktu (5,7):
[tex]\sqrt{(x-5)^2+\Big(-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{31}{3}-7\Big)^2}=\sqrt{(x-5)^2+\Big(-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{10}{3}\Big)^2}=\\\\\\=\sqrt{x^2-10x+25+\dfrac{4}{9}x^2-\dfrac{40}{9}x+\dfrac{100}{9}}=\sqrt{\dfrac{13}{9}x^2-\dfrac{130}{9}x+\dfrac{325}{9}}[/tex]
Odległość ta powinna być równa połowie długości krótszej przekątnej:
[tex]\sqrt{\dfrac{13}{9}x^2-\dfrac{130}{9}x+\dfrac{325}{9}}=\sqrt{13}\\\\\\\dfrac{13}{9}x^2-\dfrac{130}{9}x+\dfrac{325}{9}=13\\\\13x^2-130x+325=117\\\\13x^2-130x+208=0\\\\x^2-10x+16=0\\\\\Delta=(-10)^2-4\cdot1\cdot16=100-64=36\\\\\sqrt{\Delta}=6\\\\x_1=\dfrac{10-6}{2}=2\\\\x_2=\dfrac{10+6}{2}=8[/tex]
Zatem pozostałe punkty to:
[tex]\boxed{B=(2,9)}\\\\\boxed{D=(8,5)}[/tex]
