Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x,y,z)=2y+2x+z-6[/tex]
[tex]g(x,y,z)=8yx-z^2-2[/tex]
Jest to układ równań nieliniowych, jednak od razu możemy napisać, że posiada on nieskończoną liczbę rozwiązań, gdyż niewiadomych jest więcej niż równań. Pozostaje jedynie zapisać dwie z pośród zmiennych za pomocą trzeciej. Wyznaczmy zatem [tex]z[/tex] oraz [tex]y[/tex] za pomocą [tex]x[/tex]:
Z funkcji [tex]f(x,y,z)[/tex] wyznaczamy zmienną [tex]z[/tex]:
[tex]z=6-2y-2x[/tex]
Wyznaczoną wartość zmiennej [tex]z[/tex] wstawiamy do funkcji [tex]g(x,y,z)[/tex]:
[tex]24x-4x^2-4y^2+24y-38=0[/tex]
Z powyższego równania wyznaczamy zmienną [tex]y[/tex]:
[tex]$y_1=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-2x^2-1} }{2}+3 \ \vee \ y_2= 3-\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-2x^2-1} }{2}$[/tex]
Do wyznaczonej wartości zmiennej [tex]z[/tex] podstawiamy nasze wartości zmiennej [tex]y[/tex] i otrzymujemy:
[tex]$z_1=-2x-\sqrt{2}\cdot \sqrt{12x-2x^2-1} \ \vee \ z_2= -2x+\sqrt{2}\cdot \sqrt{12x-2x^2-1}[/tex]
Zatem ostatecznie:
[tex]$\left \{ {{y=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-x^2-1} }{2}+3 } \atop {z=-2x-\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-2x^2-1} }} \right.$[/tex]
lub
[tex]$\left \{ {{y=3-\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-x^2-1} }{2} } \atop {z=-2x+\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-2x^2-1} }} \right.$[/tex]
Ponieważ rozważamy dziedzinę rzeczywistą, musimy wyznaczyć jeszcze dziedzinę zmiennej [tex]x[/tex], będzie to tylko rozwiązanie nierówności:
[tex]$\sqrt{12x-2x^2-1}\geq 0 $[/tex]
będzie to:
[tex]$3-\frac{\sqrt{34} }{2}\leq x\leq 3+\frac{\sqrt{34} }{2}[/tex]
w przybliżeniu:
[tex]0,0845\leq x\leq 5,9155[/tex]
Sprawdźmy jeszcze tylko, załóżmy że [tex]x=1[/tex] wtedy:
[tex]$y_1=\frac{3\sqrt{2} }{2}+3 \ \ \wedge \ \ z_1=-2-3\sqrt{2}[/tex]
więc:
[tex]$f\bigg(1,3+\frac{3\sqrt{2} }{2},-2-3\sqrt{2}\bigg)=0 $[/tex]
[tex]$g\bigg(1,3+\frac{3\sqrt{2} }{2},-2-3\sqrt{2}\bigg)=0$[/tex]
mamy zgodność, jeszcze tylko:
[tex]$y_2=3-\frac{3\sqrt{2} }{2} \ \ \wedge \ \ z_2=3\sqrt{2}-2 $[/tex]
[tex]$f\bigg(1,3-\frac{3\sqrt{2} }{2},-2+3\sqrt{2}\bigg)=0 $[/tex]
[tex]$g\bigg(1,3-\frac{3\sqrt{2} }{2},-2+3\sqrt{2}\bigg)=0$[/tex]
wszystko się zgadza :)
Odpowiedź:
[tex]$\left \{ {{y=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-x^2-1} }{2}+3 } \atop {z=-2x-\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-2x^2-1} }} \right. \ \ \ \wedge \ \ \ x\in\bigg\langle3-\frac{\sqrt{34} }{2} \ ; \ 3+\frac{\sqrt{34} }{2}\bigg\rangle$[/tex]
lub
[tex]$\left \{ {{y=3-\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-x^2-1} }{2} } \atop {z=-2x+\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-2x^2-1} }} \right. \ \ \ \wedge \ \ \ x\in\bigg\langle3-\frac{\sqrt{34} }{2} \ ; \ 3+\frac{\sqrt{34} }{2}\bigg\rangle$[/tex]
