Oznaczmy przez x przyprostokątną przyległą do kąta o mierze 60°. Wtedy:
[tex]\dfrac{x}{12}=\cos60^{\circ}\\\\x=12\cdot\cos60^{\circ}=12\cdot\dfrac{1}{2}=6\ [\text{cm}][/tex]
Pole trójkąta:
[tex]P=\dfrac{1}{2}ab\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot12\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\boxed{18\sqrt{3}\ [\text{cm}^2]}[/tex]
Możemy też zauważyć, że ten trójkąt to połowa trójkąta równobocznego. Zatem długość trzeciego boku to 6V3 cm. Wówczas pole to połowa iloczynu długości przyprostokątnych.
Pierwszą cyfrę (cyfrę tysięcy) wybieramy ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9} na 9 sposobów.
Załóżmy, że wybraliśmy cyfrę 6.
Drugą cyfrę wybieramy ze zbioru {0,1,2,3,4,5,7,8,9} na 9 sposobów.
Załóżmy, że wybraliśmy cyfrę 9.
Trzecią cyfrę wybieramy ze zbioru {0,1,2,3,4,5,7,8} na 8 sposobów.
Załóżmy, że wybraliśmy cyfrę 2.
Ostatnią cyfrę wybieramy ze zbioru {0,1,3,4,5,7,8} na 7 sposobów.
Wobec tego takich liczb jest:
[tex]9\cdot9\cdot8\cdot7=\boxed{4536}[/tex]
Gdy mamy dwa kąty oparte na tym samym łuku -- kąt środkowy i kąt wpisany -- to miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego.
Oznaczmy miarę kąta wpisanego jako α. Wtedy miara kąta środkowego to 2α. Stąd:
[tex]\alpha+2\alpha=171^{\circ}\\\\3\alpha=171^{\circ}\\\\\alpha=57^{\circ}[/tex]
Wobec tego miara kąta środkowego jest równa:
[tex]2\alpha=2\cdot57^{\circ}=\boxed{114^{\circ}}[/tex]
