Odpowiedź:
[tex]x \in (0,1) \cup (2,\infty)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]log_{x}4<2[/tex]
Dziedzina:
[tex]x>0 \wedge x\neq 1\\x \in (0,1) \cup (1,\infty)[/tex]
Rozwiązanie:
W tym przypadku istotne jest, aby rozważyć dwa możliwe przypadki. Dlaczego akurat tak, a nie inaczej? Żeby rozwiązać jakąkolwiek nierówność logarytmiczną musimy wiedzieć jaka jest podstawa logarytmu, aby znać monotoniczność funkcji (aby wiedzieć, czy zmieniać znak nierówności lub też go nie zmieniać). Zatem pierwszy przypadek to:
[tex]1^{\circ}[/tex]
[tex]x \in (0,1)[/tex]
Wtedy mamy:
[tex]log_{x}4<2\\log_{x}4<log_{x}x^{2}[/tex]
Dzięki założeniu, że [tex]x \in (0,1)[/tex] mamy pewność, że podstawa jest właśnie z tego przedziału, a funkcja logarytmiczna jest malejąca, czyli będziemy zmieniać znak nierówności na przeciwny:
[tex]4>x^{2}\\x^{2}-4<0\\(x-2)(x+2)<0\\x \in (-2,2)[/tex]
Na koniec musimy jeszcze oczywiście porównać nasze rozwiązanie z założeniem i wybrać tylko określone rozwiązania (część wspólna):
[tex]x \in (0,1)[/tex]
Drugi przypadek:
[tex]2^{\circ}[/tex]
[tex]x \in (1,\infty)[/tex]
Wtedy mamy:
[tex]log_{x}4<2\\log_{x}4<log_{x}x^{2}[/tex]
Dzięki założeniu [tex]x \in (1,\infty)[/tex] mamy pewność, że podstawa jest właśnie z tego przedziału, a funkcja logarytmiczna jest rosnąca, czyli nie będziemy zmieniać znaku nierówności:
[tex]4<x^{2}\\x^{2}-4>0\\(x-2)(x+2)>0\\x \in (-\infty,-2) \cup (2,\infty)[/tex]
Na koniec musimy jeszcze oczywiście porównać nasze rozwiązanie z założeniem i wybrać tylko określone rozwiązania (część wspólna):
[tex]x \in (2,\infty)[/tex]
Naszą odpowiedzią będzie suma przedziałów jakie otrzymaliśmy w obu przypadkach:
[tex]x \in (0,1) \cup (2,\infty)[/tex]
