Funkcja podana w zadaniach jest funkcją w postacie ogólnej (y = ax² + bx + c). Jeżeli mamy do czynienia z taką funkcją i musimy wyznaczyć x wierzchołka (xw, gdzie w jest w indeksie dolnym) to możemy obliczyć to ze wzoru xw = [tex]\frac{-b}{2a}[/tex]. Obliczenie x wierzchołka jest tylko połową drogi. Musimy jeszcze obliczyć y wierzchołka (yw, gdzie w jest w indeksie dolnym). Obliczając yw posłużymy się wzorem yw = [tex]\frac{-delta}{4a}[/tex] (delta oznaczana jest symbolem Δ lecz niewiedzieć czemu nie mogłem jej wstawić w powyższe równanie, więc musiałem napisać ją słownie). Żeby obliczyć yw musimy znać deltę. Deltę policzymy ze wzoru Δ = b² - 4ac. Teraz wiedząc jak wszystko obliczyć musimy wiedzieć również jak dokonać translacji (czyli przesunięcia funkcji). W zadaniu proszą nas o przesunięcie funkcji g(x) = x². Przesuwając funkcję musimy uwzględnić x i y wierzchołka. Jeżeli wierzchołek ma współrzędne W(p, q) to przesuwając funkcję g(x) = x² o wektor [p, q] otrzymamy funkcję h(x) = (x - p)² + q. Teraz znając teorię możemy przejść do zadań.
Podpunkt a)
Korzystając z wyżej napisanej teorii mogę wykonać to zadanie. Mamy podaną funkcję kwadratową f(x) = x² - 4x + 7. Jest to postać ogólna więc policzymy deltę. Dla ułatwienia wypiszę dane:
a = 1
b = -4
c = 7
Δ = b² - 4ac = 16 - 4(1 * 7) = 16 - 4 * 7 = 16 - 28 = -12
xw = [tex]\frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2[/tex]
yw = [tex]\frac{-delta}{4a} = \frac{12}{4} = 3[/tex]
Skoro znamy xw i yw to znamy współrzędne wierzchołka.
W (2, 3)
Teraz wystarczy przekształcić funkcję g(x) = x² do funkcji f(x), która będzie postacią kanoniczną. Wykorzystamy do tego translację o wektor [p, q]. Tym naszym p będzie xw a naszym q yw. Przekształcając g(x) = x² o wektor [2, 3] (zapisywane nad strzałką za pomocą oznaczenia Tu [2,3]) otrzymamy funkcję f(x) = (x - 2)² + 3.
Mam nadzieję, że pomogłem i jakoś rozjaśniłem to zagadnienie. W razie pytań proszę pisać. Resztę (podpunkt b i c) polecam zrobić samemy w celu sprawdzenia czy już zrozumiałeś/aś ten sposób rozwiązywania zadań.
Pozdrawiam!