Szczegółowe wyjaśnienie:
Niech [tex]\mathbb{P} \ni p = 4n + 1[/tex]. Wówczas:
[tex]p \mid n^{2n}-1 \iff n^{2n}-1 \equiv 0 \pmod{p} \iff n^{2n} \equiv 1 \pmod{p}[/tex]
To jednak jest równoważne:
[tex]n^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}[/tex]
Zauważmy, że:
[tex](-1)^{\frac{p-1}{2}} \equiv1 \pmod{p}[/tex] (wystarczy podstawić p = 4n + 1)
Możemy zastąpić w kongruencji -1 przez p - 1, czyli 4n:
[tex]1 \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2} } \equiv (4n)^{\frac{p-1}{2} } \equiv 4^{\frac{p-1}{2} }n^{\frac{p-1}{2} } \equiv 2^{p-1}n^{\frac{p-1}{2} } \pmod{p}[/tex]
Z małego twierdzenia Fermata [tex]2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}[/tex]. Zatem:
[tex]n^{\frac{p-1}{2} } \equiv 1 \pmod{p}[/tex]
To kończy dowód.
