Rozwiązanie:
Mamy:
[tex]\frac{1}{1-x}=\sum \limits^{\infty}_{n=1} x^{n-1}[/tex]
Po różniczce:
[tex]\frac{d}{dx} \frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2}[/tex]
[tex]\frac{d}{dx} \left[\begin{array}{c}\sum \limits^{\infty}_{n=1} x^{n-1} \end{array}\right] = \sum \limits^{\infty}_{n=2} (n-1)x^{n-2}=\sum \limits^{\infty}_{n=1} nx^{n-1}[/tex]
Stąd:
[tex]\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum \limits^{\infty}_{n=1} nx^{n-1}[/tex]
Oczywiście można różniczkować dalej i otrzymywać kolejne rozwinięcia. Oto kilka z nich:
[tex]\frac{1}{(1-x)^{3}} =\sum \limits^{\infty}_{n=1} \frac{n(n+1)}{2} x^{n-1}[/tex]
[tex]\frac{1}{(1-x)^{4}}=\sum \limits^{\infty}_{n=1} \frac{n(n+1)(n+2)}{6} x^{n-1}[/tex]
[tex]\frac{1}{(1-x)^{5}} =\sum \limits^{\infty}_{n=1} \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24} x^{n-1}[/tex]
Można nawet zauważyć pewną prawidłowość i zapisać wzór ogólny na rozwinięcie funkcji [tex]\frac{1}{(1-x)^{k}}[/tex].
